Згадаймо на початку, що таке векторне твір.

зауваження 1

векторним творомдля $ \ vec (a) $ і $ \ vec (b) $ є $ \ vec (c) $, що представляє собою деякий третій вектор $ \ vec (c) = || $, причому цей вектор має особливі властивості:

• Cкаляр отриманого вектора - твір $ | \ vec (a) | $ і $ | \ vec (b) | $ на синус кута $ \ vec (c) = || = | \ vec (a) | \ Cdot | \ vec (b) | \ cdot \ sin α \ left (1 \ right) $;
• Все $ \ vec (a), \ vec (b) $ і $ \ vec (c) $ утворюють праву трійку;
• Отриманий вектор ортогональний до $ \ vec (a) $ і $ \ vec (b) $.

Якщо для векторів присутні деякі координати ($ \ vec (a) = \ (x_1; y_1; z_1 \) $ і $ \ vec (b) = \ (x_2; y_2; z_2 \) $), то їх векторний добуток в декартовій системі координат можна визначити за формулою:

$ = \ (Y_1 \ cdot z_2 - y_2 \ cdot z_1; z_1 \ cdot x_2 - z_2 \ cdot x_1; x_2 \ cdot y_2 - x_2 \ cdot y_1 \) $

Найлегше запам'ятати цю формулу записавши в формі визначника:

$ = \ Begin (array) (| ccc |) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \ end (array) $.

Ця формула дуже зручна для використання, але щоб розуміти, як її використовувати, для початку варто ознайомитися з темою матриць і їх визначників.

Площа паралелограма, Сторони якого визначаються двома векторами $ \ vec (a) $ і $ vec (b) $ дорівнює скаляру векторного твори даних двох векторів.

Це співвідношення зовсім нескладно вивести.

Згадаймо формулу для знаходження площі звичайного паралелограма, який можна охарактеризувати утворюють його відрізками $ a $ і $ b $:

$ S = a \ cdot b \ cdot \ sin α $

При цьому довжини сторін дорівнюють скалярним значенням векторів $ \ vec (a) $ і $ \ vec (b) $, що цілком собі підходить нам, тобто, скаляр векторного твори даних векторів і буде площею розглянутої фігури.

приклад 1

Дано вектори $ \ vec (c) $ c координатами $ \ (5; 3; 7 \) $ і вектор $ \ vec (g) $ з координатами $ \ (3; 7; 10 \) $ в декартовій системі координат. Знайти, чому дорівнює площа паралелограма, утвореного $ \ vec (c) $ і $ \ vec (g) $.

Рішення:

Знайдемо векторний добуток для цих векторів:

$ = \ Begin (array) (| ccc |) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \ end (array) = i \ cdot \ begin (array) (| cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \ end (array) - j \ cdot \ begin (array) (| cc |) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \ end (array) + k \ cdot \ begin (array) (| cc |) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \ end (array) = i \ cdot (3 \ cdot 10 - 49) - j \ cdot (50 -21) + k \ cdot (35-9) = -19i -29j + 26k = \ (- 19; 29; 26 \) $.

Тепер знайдемо модульне значення для отриманого спрямованого відрізка, воно і є значенням площі побудованого паралелограма:

$ S = \ sqrt (| 19 | ^ 2 + | 29 | ^ 2 + | 26 | ^ 2) = \ sqrt (1878) ≈ 43, 34 $.

Даний хід міркувань справедливий не тільки для знаходження площі в 3-вимірної просторі, але і для двомірного. Зустрітися з наступною задачкою на цю тему.

приклад 2

Обчислити площу паралелограма, якщо його утворюють відрізки задаються векторами $ \ vec (m) $ з координатами $ \ (2; 3 \) $ і $ \ vec (d) $ з координатами $ \ (- 5; 6 \) $.

Рішення:

Це завдання є окремий приклад завдання 1, вирішеною вище, але при цьому обидва вектори лежать в одній площині, а це значить, що третю координату, $ z $, можна прийняти за нуль.

Підіб'ємо підсумки по всьому вищесказаному, площа паралелограма складе:

$ S = \ begin (array) (|| cc ||) 2 & 3 \\ -5 & 6 \\ \ end (array) = \ sqrt (12 + 15) = 3 \ sqrt3 $.

приклад 3

Дано вектори $ \ vec (a) = 3i - j + k; \ Vec (b) = 5i $. Визначте площу утвореного ними паралелограма.

$ [\ Vec (a) \ times \ vec (b)] = (3i - j + k) \ times 5i = 15 - 5 + $

Спростимо згідно наведеної таблиці для одиничних векторів:

Малюнок 1. Розкладання вектора по базису. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

$ [\ Vec (a) \ times \ vec (b)] = 5 k + 5 j $.

Час підрахунків:

$ S = \ sqrt (| -5 | ^ 2 + | 5 | ^ 2) = 5 \ sqrt (2) $.

Попередні завдання були про вектори, координати яких задані в декартовій системі координат, але розглянемо також випадок, якщо кут між базисними векторами відрізняється від $ 90 ° $:

приклад 4

Вектор $ \ vec (d) = 2a + 3b $, $ \ vec (f) = a - 4b $, довжини $ \ vec (a) $ і $ \ vec (b) $ рівні між собою і дорівнюють одиниці, а кут між $ \ vec (a) $ і $ \ vec (b) $ дорівнює 45 °.

Рішення:

Обчислимо векторний добуток $ \ vec (d) \ times \ vec (f) $:

$ [\ Vec (d) \ times \ vec (f)] = (2a + 3b) \ times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Для векторних творів згідно їх властивостями справедливо наступне: $$ і $$ дорівнюють нулю, $ = - $.

Використовуємо це для спрощення:

$ [\ Vec (d) \ times \ vec (f)] = -8 + 3 = -8 - 3 = -11 $.

Тепер скористаємося формулою $ (1) $:

$ [\ Vec (d) \ times \ vec (f)] = | -11 | = 11 \ cdot | a | \ Cdot | b | \ Cdot \ sin α = 11 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot \ frac12 = 5,5 $.

Площа паралелограма, побудованого на векторах, дорівнює добутку довжин цих векторів на кут кута, який лежить між ними.

Добре, коли за умовами дані довжини цих самих векторів. Однак буває і так, що застосувати формулу площі паралелограма, побудованого на векторах можна тільки після розрахунків за координатами.
Якщо пощастило, і за умовами дані довжини векторів, то потрібно просто застосувати формулу, яку ми вже детально розбирали в статті. Площа буде дорівнювати добутку модулів на синус кута між ними:

Розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма побудованого на векторах.

завдання:паралелограм побудовано на векторах і. Знайдіть площу, якщо, а кут між ними 30 °.
Висловимо вектора через їх значення:

Можливо, у вас виникло питання - звідки взялися нулі? Варто згадати, що ми працюємо з векторами, а для них . також зверніть увагу, що якщо в результаті ми отримуємо вираз, то воно буде перетворено в. Тепер проводимо підсумкові обчислення:

Повернемося до проблеми, коли довжини векторів не вказані в умовах. Якщо ваш паралелограм лежить в декартовій системі координат, то буде потрібно зробити наступне.

Розрахунок довжин сторін фігури, заданої координатами

Для початку знаходимо координати векторів і віднімаємо від координат кінця відповідні координати початку. Припустимо координати вектора a (x1; y1; z1), а вектора b (x3; y3; z3).
Тепер знаходимо довжину кожного вектора. Для цього кожну координату необхідно звести в квадрат, потім скласти отримані результати і з кінцевого числа витягти корінь. За нашими векторах будуть наступні розрахунки:


Тепер потрібно знайти скалярний добуток наших векторів. Для цього їх відповідні координати множаться і складаються.

Маючи довжини векторів і їх скалярний твір, ми можемо знайти косинус кута, лежачого між ними .
Тепер можемо знайти синус цього ж кута:
Тепер у нас є всі необхідні величини, і ми можемо запросто знайти площу паралелограма побудованого на векторах за вже відомою формулою.

На даному уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві мішаний добуток векторів (Відразу посилання, кому потрібно саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твори векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. В даному розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий - навряд чи складніше, ніж той же скалярний твір, Навіть типових задач поменше буде. Головне в аналітичної геометрії, як багато переконаються або вже переконалися, не помиляється в обчисленнях. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя =)

Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, Щоб відновити або знову придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть знайомитися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються в практичних роботах

Чим вас відразу порадувати? Коли я був маленьким, то вмів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати не доведеться взагалі, оскільки ми будемо розглядати тільки просторові вектори, А плоскі вектори з двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії - векторне і змішане твір векторів визначені і працюють в тривимірному просторі. Вже простіше!

У даній операції, точно так же, як і в скалярному творі, беруть участь два вектора. Нехай це будуть нетлінні літери.

сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують і інші варіанти, але я звик позначати векторний добуток векторів саме так, в квадратних дужках з хрестиком.

І відразу питання: якщо в скалярном творі векторівберуть участь два вектора, і тут теж множаться два вектора, тоді в чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:

Результатом скалярного твори векторів є ЧИСЛО:

Результатом векторного добутку векторів є ВЕКТОР:, Тобто множимо вектори і отримуємо знову вектор. Закритий клуб. Власне, звідси і назва операції. У різній навчальній літературіпозначення теж можуть варіюватися, я буду використовувати букву.

Визначення векторного твори

Спочатку буде визначення з картинкою, потім коментарі.

визначення: Векторним твором неколінеарнихвекторів, взятих в даному порядку, Називається ВЕКТОР, довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограма, Побудованого на даних векторах; вектор ортогонален векторах, І спрямований так, що базис має праву орієнтацію:

Розбираємо визначення по кісточках, тут багато цікавого!

Отже, можна виділити такі суттєві моменти:

1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням НЕ колінеарні. Випадок колінеарних векторів буде доречно розглянути трохи пізніше.

2) Вектори взяті в строго певному порядку: – «А» множиться на «бе», А не «бе» на «а». Результатом множення векторівє ВЕКТОР, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити в зворотному порядку, то отримаємо рівний по довжині і протилежний по напрямку вектор (малиновий колір). Тобто, справедливо рівність .

3) Тепер познайомимося з геометричним змістом векторного твори. Це дуже важливий пункт! ДОВЖИНА синього вектора (а, значить, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку даний паралелограм заштрихован чорним кольором.

Примітка : Креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного твори не дорівнює площі паралелограма.

Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи з вищесказаного, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ векторного твори:

Підкреслюю, що у формулі мова йде про ДОВЖИНІ вектора, а не про сам вектор. Який практичний сенс? А сенс такий, що в задачах аналітичної геометрії площа паралелограма часто знаходять через поняття векторного твори:

Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівних трикутника. Отже, площа трикутника, побудованого на векторах (червона штриховка), можна знайти за формулою:

4) Не менш важливий фактполягає в тому, що вектор ортогональний векторам, тобто . Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогонален вихідним векторах.

5) Вектор спрямований так, що базисмає правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базисуя досить докладно розповів про орієнтації площини, І зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Пояснювати буду на пальцях вашої правої руки. подумки вирівняйте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець і мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- векторний добуток буде дивитися вгору. Це і є правоорієнтованого базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний і середній пальці) Місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний добуток вже буде дивитися вниз. Це теж правоорієнтованого базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? «Дайте» тих же пальців лівої рукивектори, і отримати лівий базис і ліву орієнтацію простору (В цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, дані базиси «закручують» або орієнтують простір в різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим або абстрактним - так, наприклад, орієнтацію простору змінює саме звичайне дзеркало, і якщо «витягнути відбитий об'єкт із задзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці і проаналізуйте відображення ;-)

... як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- і лівоорієнтованихбазисах, бо страшно висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)

Векторний добуток колінеарних векторів

Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли вектори колінеарні. Якщо вектори колінеарні, то їх можна розташувати на одній прямій і наш паралелограм теж «складається» в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогопаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180-ти градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова

Таким чином, якщо, то і . Зверніть увагу, що саме векторний добуток одно нульового вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що воно теж дорівнює нулю.

Окремий випадок - векторний добуток вектора на самого себе:

За допомогою векторного твори можна перевіряти коллинеарность тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.

Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрическая таблиця, Щоб знаходити по ній значення синусів.

Ну що ж, розпалюємо вогонь:

приклад 1

а) Знайти довжину векторного добутку векторів, якщо

б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, якщо

Рішення: Ні, це не помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень буде відрізнятися!

а) За умовою потрібно знайти довжинувектора (векторного твори). За відповідною формулою:

відповідь:

Коль скоро питалося про довжину, то у відповіді вказуємо розмірність - одиниці.

б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного твори:

відповідь:

Зверніть увагу, що у відповіді про векторному добутку мови не йде взагалі, нас запитували про площі фігури, Відповідно, розмірність - квадратні одиниці.

Завжди дивимося, ЩО потрібно знайти за умовою, і, виходячи з цього, формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але буквоїдів серед викладачів вистачає, і завдання з хорошими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута зачіпка - якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розбирається в простих речах і / або не вник в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики, так і з інших предметів теж.

Куди поділася велика буква «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити в рішення, але в цілях скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і - це позначення одного і того ж.

Популярний приклад для самостійного рішення:

приклад 2

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах, якщо

Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення і відповідь в кінці уроку.

На практиці завдання дійсно дуже поширена, трикутниками взагалі можуть замучити.

Для вирішення інших завдань нам знадобляться:

Властивості векторного добутку векторів

Деякі властивості векторного добутку ми вже розглянули, тим не менш, я їх включу в даний список.

Для довільних векторів і довільного числа справедливі такі властивості:

1) В інших джерелах інформації даний пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий в практичному плані. Тому нехай буде.

2) - властивість теж розібрано вище, іноді його називають антикоммутативність. Іншими словами, порядок векторів має значення.

3) - асоціативні або асоціативнізакони векторного твори. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твори. Дійсно, чого їм там робити?

4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторного твори. З розкриттям дужок теж немає проблем.

В якості демонстрації розглянемо коротенький приклад:

приклад 3

Знайти, якщо

Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твори. Розпишемо нашу мініатюру:

(1) Відповідно до асоціативних законів, виносимо константи за переділи векторного твори.

(2) Виносимо константу за межі модуля, при цьому модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж не може бути негативною.

(3) Подальше зрозуміло.

відповідь:

Пора підкинути дров у вогонь:

приклад 4

Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах, якщо

Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою . Заковика полягає в тому, що вектори «це» і «де» самі представлені у вигляді сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади № 3 і 4 уроки Скалярний добуток векторів. Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:

1) На першому кроці висловимо векторний добуток через векторний добуток, по суті, висловимо вектор через вектор. Про довжинах поки ні слова!

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення многочленів.

(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо все константи за межі векторних творів. При маломальской досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.

(4) Перше і останнє доданок дорівнює нулю (нульового вектору) завдяки приємному властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикоммутативність векторного твори:

(5) Наводимо подібні доданки.

В результаті вектор опинився виражений через вектор, чого й треба було досягти:

2) На другому кроці знайдемо довжину потрібного нам векторного твори. Дана дія нагадує Приклад 3:

3) Знайдемо площу шуканого трикутника:

Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.

відповідь:

Розглянута задача досить поширена в контрольних роботах, Ось приклад для самостійного рішення:

приклад 5

Знайти, якщо

Короткий рішення і відповідь в кінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні при вивченні попередніх прикладів ;-)

Векторний добуток векторів в координатах

, Заданих в ортонормированном базисі, виражається формулою:

Формула і правда простацька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, в другу і третю рядки «укладаємо» координати векторів, причому укладаємо в строгому порядку- спочатку координати вектора «ве», потім координати вектора «дубль-ве». Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то і рядки слід поміняти місцями:

приклад 10

Перевірити, чи будуть колінеарні наступні вектори простору:
а)
б)

Рішення: Перевірка заснована на одному з тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, то їх векторний добуток дорівнює нулю (нульового вектору): .

а) Знайдемо векторний добуток:

Таким чином, вектори НЕ колінеарні.

б) Знайдемо векторний добуток:

відповідь: A) не колінеарні, б)

Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторному добутку векторів.

даний розділбуде не дуже великим, так як задач, де використовується змішане твір векторів, небагато. Фактично все буде впиратися в визначення, геометричний сенсі пару робочих формул.

Змішане твір векторів - це твір трьох векторів:

Ось так ось вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх вирахують.

Спочатку знову визначення і картинка:

визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих в даному порядку, називається обсяг паралелепіпеда, Побудованого на даних векторах, забезпечений знаком «+», якщо базис правий, і знаком «-», якщо базис лівий.

Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром:

Занурюємося в визначення:

2) Вектори взяті в певному порядку, Тобто перестановка векторів в творі, як ви здогадуєтеся, не проходить без наслідків.

3) Перед тим, як прокоментувати геометричний сенс, зазначу очевидний факт: мішаний добуток векторів є ЧИСЛОМ:. У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати мішаний добуток через, а результат обчислень буквою «пе».

За визначенням змішане твір - це обсяг паралелепіпеда, Побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами і лініями чорного кольору). Тобто, число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.

Примітка : Креслення є схематичним.

4) Не будемо заново паритися з поняттям орієнтації базису і простору. Сенс заключній частині полягає в тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, змішане твір може бути негативним:.

Безпосередньо з визначення випливає формула обчислення обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах.