4 чудові точки трикутника на одному малюнку. Дослідницька робота «Чудові точки трикутника. Пояснення нового матеріалу

Урок геометрії у 8-му класі розроблено на основі моделі позиційного навчання.

Цілі уроку:

• Вивчення теоретичного матеріалу на тему «Чотири чудові точки трикутника»;
• Розвиток мислення, логіки, мови, уяви учнів, уміння аналізувати та оцінювати роботу;
• Розвиток уміння групової роботи;
• Виховання почуття відповідальності за якість та результат виконуваної роботи.

Обладнання:

• картки із назвами груп;
• картки із завданнями для кожної групи;
• папір формату А-4 для запису результатів роботи груп;
• епіграф, записані на дошці.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Визначення цілей та теми уроку.

Історично геометрія почалася з трикутника, тому вже два з половиною тисячоліття трикутник є символом геометрії. Шкільна геометрія лише тоді може стати цікавою та змістовною, тільки тоді може стати власне геометрією, коли в ній з'являється глибоке та всебічне вивчення трикутника. Дивно, але трикутник, незважаючи на свою простоту, є невичерпним об'єктом вивчення – ніхто навіть у наш час не наважиться сказати, що вивчив і знає всі властивості трикутника.

Хто не чув про Бермудський трикутник, у якому безвісти зникають кораблі та літаки? Адже сам трикутник таїть у собі чимало цікавого та загадкового.

Центральне місце трикутника займають звані чудові точки.

Думаю, що наприкінці уроку ви зможете сказати: чому точки називаються чудовими і чи є вони такими.

Яка тема нашого уроку? "Чотири чудові точки трикутника". Епіграфом до уроку можуть бути слова До. Вейерштрасса: «Математик, який є частково поетом, будь-коли досягне досконалості в математиці» (епіграф написаний на дошці).

Подивіться на формулювання теми уроку, епіграф і спробуйте визначити цілі вашої роботи на уроці. Наприкінці уроку ми перевіримо, як ви їх виконали.

3. Самостійна роботаучнів.

Підготовка до самостійної роботи

Для роботи на уроці ви повинні вибрати одну з шести груп: «Теоретики», «Творчість», «Логики-конструктори», «Практики», «Історики», «Експерти».

Інструктаж

Кожна група отримує картки із завданнями. Якщо завдання незрозуміле, вчитель додатково робить пояснення.

«Теоретики»

Завдання: дайте визначення основним поняттям, необхідним щодо теми «Чотири чудові точки трикутника» (висота трикутника, медіана трикутника, бісектриса трикутника, серединний перпендикуляр, вписане коло, описане коло), можна скористатися підручником; Напишіть основні поняття на аркуші паперу.

«Історики»

бісектриси центрі вписаного кола перпендикуляри центр описаного кола. У «Початках» не йдеться про те, що й три висотитрикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром медіан центром тяжіння

У 20-х роках ХІХ ст. французькі математики Ж. Понселе, Ш. Бріаншон та інші встановили незалежно один від одного наступну теорему: основи медіан, основи висот і середин відрізків висот, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на тому самому колі.

Це коло називається «колом дев'яти точок», або «колом Фейєрбаха», або «колом Ейлера». Фейєрбах встановив, що центр цього кола лежить на «прямій Ейлера».

Завдання: проаналізуйте статтю та заповніть таблицю, що відображає вивчений матеріал.

«Творчість»

Завдання: придумати синквейн(и) на тему «Чотири чудові точки трикутника» (наприклад, трикутник, крапка, медіана та ін.)

Правило написання синквейну:

У першому рядку тема називається одним словом (зазвичай іменником).

Другий рядок – це опис теми двома словами (2 прикметників).

Третій рядок - це опис дії в рамках цієї теми трьома словами (дієслова, дієприслівники).

Четвертий рядок - це фраза з 4 слів, що показує ставлення до теми.

Останній рядок - це синонім (метафора) з одного слова, що повторює суть теми.

«Логіки-конструктори»

Медіаною трикутника називається відрізок, що з'єднує будь-яку вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Будь-який трикутник має три медіани.

Бісектриса називається відрізок бісектриси будь-якого кута від вершини до перетину з протилежною стороною. Будь-який трикутник має три бісектриси.

Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з будь-якої вершини трикутника на протилежну сторону або її продовження. Будь-який трикутник має три висоти.

Серединний перпендикуляр до відрізка називається пряма, що проходить через середину даного відрізка і перпендикулярно до нього. Будь-який трикутник має три серединні перпендикуляри.

Завдання: Використовуючи трикутні аркуші паперу, побудувати згинання точки перетину медіан, висот, бісектрис, серединних перпендикулярів. Пояснити це усьому класу.

«Практики»

У четвертій книзі «Початок» Евклід вирішує завдання «Вписати коло у цей трикутник». З рішення випливає, що три бісектрисивнутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Із вирішення іншого завдання Евкліда випливає, що перпендикуляри, Відновлені до сторін трикутника в їх серединах, теж перетинаються в одній точці - центр описаного кола. У «Початках» не йдеться про те, що три висоти трикутника перетинаються в одній точці, званій ортоцентром(Грецьке слово «ортос» означає прямий, правильний). Ця пропозиція була, однак, відома Архімеду, Паппу, Проклу. Четвертою особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром тяжіння(барицентр) трикутника. На вищезгадані чотири точки було звернуто особливу увагу, починаючи з XVIII ст. Вони були названі "чудовими" або "особливими точками трикутника".

Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних із цими та іншими точками, послужило початком для створення нової гілки елементарної математики - "геометрії трикутника", або "нової геометрії трикутника", одним із родоначальників якої був Леонард Ейлер.

Завдання: проаналізуйте запропонований матеріал і придумайте схему, яка відображатиме смислові зв'язки між одиницями, поясніть її, намалюйте на аркуші паперу, оформіть на дошці.

Чудові точки трикутника

1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________

Креслення 1 Креслення 2 Креслення 3 Креслення 4

____________ ___________ ______________ ____________

(Пояснення)

«Експерти»

Завдання: складіть таблицю, в якій ви оціните роботу кожної групи, виберіть параметри, за якими ви оцінюватимете роботу груп, визначте бали.

Параметри можуть бути такими: участь кожного, хто навчається в роботі своєї групи, участь у захисті, цікавий виклад матеріалу, представлена ​​наочність тощо.

У своєму виступі ви повинні відзначити позитивні та негативні моменти діяльності кожної групи.

4. Виступ гуртів.(По 2-3 хвилини)

Результати роботи вивішуються на дошці

5. Підбиття підсумків уроку.

Подивіться цілі, сформульовані вами на початку уроку. Чи вдалося вам виконати?

Чи погоджуєтесь ви з епіграфом, який був обраний до сьогоднішнього уроку?

6. Завдання додому.

1) Досягніть того, щоб трикутник, який спирається на вістрі голки в певній точці, знаходився в рівновазі, використовуючи матеріал сьогоднішнього уроку.

2) Накресліть у різних трикутниках усі 4 чудові точки.

Сільченков Ілля

матеріали до уроку, презентація з анімацією

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін і дорівнює половині цієї сторони. Так само по теоремі середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює половині сторони.

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої

Чудові точки трикутника

Чудові точки трикутника Точка перетину медіан (центроїд трикутника); Точка перетину бісектрис, центр вписаного кола; Точка перетину серединних перпендикулярів; Точка перетину висот (ортоцентр); Пряма Ейлера та коло дев'яти точок; Крапки Жергона та Нагеля; Крапка Ферма-Торрічеллі;

Точка перетину медіан

Медіана трикутника-відрізок, що з'єднує вершину будь-якого кута трикутника із серединою протилежної сторони.

I. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини.

Доведення:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Позначимо літерою Про точку перетину двох медіан АА 1 і В1 трикутника АВС і проведемо середню лінію А 1 В 1 цього трикутника. 2. Відрізок А 1 В 1 паралельний стороні АВ і 1/2 АВ = А 1 В 1 тобто АВ = 2А1В1 (за теоремою про середню лінію трикутника), тому 1 = 4 і 3 = 2 (т.к. вони внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних прямих AB і A 1 B 1 і січній BB 1 для 1, 4 і AA 1 для 3, 2 , Т. е. рівні відносини сторін АО і А 1 О, ВО і В 1 О, АВ і А 1 В 1. Але АВ = 2А 1 В 1, тому АО = 2А 1 О і ВО = 2В 1 О. Таким чином , точка Про перетин медіан ВВ 1 і АА 1 ділить кожну з них щодо 2:1, вважаючи від вершини Теорема доведена Аналогічно можна довести і про інші дві медіани

Центр мас іноді називають центроїдом. Саме тому кажуть, що точка перетину медіан-центроїд трикутника. У цій же точці розташовується центр мас однорідної трикутної пластинки. Якщо подібну пластинку поставити на шпильку так, щоб вістря шпильки потрапило точно в центроїд трикутника, то пластинка буде в рівновазі. Також точка перетину медіан є центром вписаного кола його серединного трикутника. Цікава властивістьточки перетину медіан пов'язані з фізичним поняттям центру мас. Виявляється, якщо помістити у вершини трикутника рівні маси, їх центр потрапить саме у цю точку.

Точка перетину бісектрис

Бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину одного з кутів трикутника з точкою, що лежить на протилежній стороні.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від його сторін.

Доведення:

С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Позначимо буквою Про точку перетину бісектрис АА 1 і ВВ 1 трикутника АВС. 3.Скористаємося тим, що кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін і назад: кожна точка, що лежить усередині кута і рівновіддалена від сторін кута, лежить на його бісектрисі. Тоді ОК=OL та ОК=ОМ. Отже ОМ=OL , т. е. точка О равноудалена від сторін трикутника АВС і, отже, лежить на бісектрисі СС1 кута C . 4.Отже, всі три бісектриси трикутника АВС перетинаються в точці О. K L M Теорема доведена. 2.проведемо з цієї точки перпендикуляри ОК, OL та ОМ відповідно до прямих АВ, ВС та СА.

Крапка перетину серединних перпендикулярів

Серединний перпендикуляр - пряма, що проходить через середину даного відрізка і перпендикулярна до нього.

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, що рівно віддалена від вершин трикутника.

Доведення:

A m n 1. Позначимо літерою Про точку перетину серединних перпендикулярів т і п до сторін АВ і ВС трикутника АВС. O 2. Скориставшись теоремою у тому, кожна точка серединного перпендикуляра до відрізку равноудалена від кінців цього відрізка і назад: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього, отримаємо, що ОВ=ОА і ОВ=ОС. 3. Тому ОА=ОС, т. е. точка О рівновіддалена від кінців відрізка АС і, отже, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка. 4. Отже, всі три серединні перпендикуляри m, n і p до сторін трикутника АВС перетинаються в точці О. Теорема доведена. р

Точка перетину висот (або їх продовжень)

Висота трикутника-перпендикуляр, проведений з вершини будь-якого кута трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці, яка може лежати в трикутнику, а може перебувати за його межами.

Доведення:

Доведемо, що прямі АА 1 , ВР 1 і СС 1 перетинаються в одній точці. A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведемо через кожну вершину трикутника АВС пряму, паралельну до протилежної сторони. Отримаємо трикутник А2В2С2. 2. Точки А, В та С є серединами сторін цього трикутника. Справді, АВ=А 2 З і АВ=СВ 2 як протилежні сторони паралелограмів АВА 2 З і АВСВ 2 тому А 2 С=СВ 2 . Аналогічно З 2 А = АВ 2 і З 2 В = ВА 2 . Крім того, як випливає з побудови, СС 1 перпендикулярний А 2 В 2 АА 1 перпендикулярний В 2 С 2 і ВВ 1 перпендикулярний А 2 С 2 (зі слідства за теоремою паралельних прямих і січною). Таким чином, прямі АА 1 , ВР 1 і СС 1 є серединними перпендикулярами до сторін трикутника А 2 В 2 С 2 . Отже, вони перетинаються лише у точці. Теорему доведено.

Вступ

Предмети навколишнього світу мають певними властивостями, Вивченням яких займаються різні науки.

Геометрія - це розділ математики, який розглядає різні фігури та їх властивості, своїм корінням сягає в далеке минуле.

У четвертій книзі "Початок" Евклід вирішує завдання: "Вписати коло в даний трикутник". З рішення випливає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Із вирішення іншого завдання Евкліда випливає, що перпендикуляри, відновлені до сторін трикутника в їх серединах, теж перетинаються в одній точці – центр описаного кола. У «Початках» не йдеться про те, що і три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром (грецьке слово «ортос» означає «прямий», «правильний»). Ця пропозиція була, однак, відома Архімеду. Четвертою особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром тяжкості (барицентр) трикутника.

На вищезгадані чотири точки було звернуто особливу увагу, і починаючи з XVIII століття вони були названі чудовими або особливими точками трикутника. Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних із цими та іншими точками, послужило початком для створення нової гілки елементарної математики - "геометрії трикутника" або "нової геометрії трикутника", одним із родоначальників якої став Леонард Ейлер.

У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, баріцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше "прямий Ейлера". У двадцятих роках XIX століття французькі математики Ж. Понселе, Ш. Бріаншон та інші встановили незалежно один від одного наступну теорему: основи медіан, основи висот і середини відрізків висот, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на тому самому колі. Це коло називається «колом дев'яти точок», або «колом Фейєрбаха», або «колом Ейлера». К. Фейєрбах встановив, що центр цього кола лежить на прямій Ейлера.

«Я думаю, що ніколи досі ми не жили в такий геометричний період. Все довкола – геометрія». Ці слова, сказані великим французьким архітектором Ле Корбюзьє на початку XX століття, дуже точно характеризують наш час. Світ, у якому ми живемо, наповнений геометрією будинків та вулиць, гір та полів, творами природи та людини.

Нас зацікавили звані «чудові точки трикутника».

Після прочитання літератури на цю тему, ми зафіксували собі визначення та якості чудових точок трикутника. Але на цьому наша робота не закінчилася і нам захотілося самим дослідити ці точки.

Тому мета даної роботи - Вивчення деяких чудових точок і ліній трикутника, застосування отриманих знань до вирішення завдань. У процесі досягнення поставленої мети можна виділити такі етапи:

Підбір та вивчення навчального матеріалуіз різних джерел інформації, літератури;

Вивчення основних властивостей чудових точок та ліній трикутника;

Узагальнення цих властивостей та доказ необхідних теорем;

Розв'язання задач, пов'язаних із чудовими точками трикутника.

ГлаваI. Чудові точки та лінії трикутника

1.1 Точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника

Серединний перпендикуляр - це пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього. Нам вже відома теорема, що характеризує властивість серединного перпендикуляра: кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців і назад, якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, вона лежить на серединному перпендикулярі.

Багатокутник називається вписаним в коло, якщо всі його вершини належать колу. Окружність при цьому називається описаною біля багатокутника.

Біля будь-якого трикутника можна описати коло. Її центром є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Нехай точка О – точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника АВ та ВС.

Висновок: отже, якщо точка О- точка перетину серединних перпендикулярів до сторон трикутника, то ОА=ОС=ОВ, тобто. точка О рівновіддалена від усіх вершин трикутника АВС, отже, вона є центром описаного кола.

Наслідки

sin γ = c/2R = с/sin γ =2R.

Аналогічно доводиться а/ sin α =2R, b/ sin β =2R.

Таким чином:

Цю властивість називають теоремою синусів.

У математиці нерідко буває, що об'єкти, певні зовсім по різномувиявляються збігаються.

приклад.Нехай А1, В1, С1 – середини сторін АВС ВС, АС, АВ відповідно. Показати, що кола, описані біля трикутників АВ1С1, А1В1С, А1ВС1, перетинаються в одній точці. Причому ця точка є центром описаного біля ∆АВС кола.

Узагальнення.Якщо на сторонах АВС АС, ВС, АС взяти довільні точки А 1 , В 1 , С 1 , то кола описані біля трикутників АВ 1 С 1 , А 1 В 1 С, А 1 ВС 1 перетинаються в одній точці.

1.2 Точка перетину бісектрис трикутника

Правильне і зворотне твердження: якщо точка рівновіддалена від сторін кута, вона лежить з його бісектрисі.

Корисно відзначити половини одного кута однаковими літерами:

OAF = OAD = α, OBD = OBE = β, OCE = OFC = γ.

Нехай точка О- точка перетину бісектрис кутів А і В. За властивістю точки, що лежить на бісектрисі кута А, OF=OD=r. За властивістю точки, що лежить на бісектрисі кута, OЕ=OD=r. Отже, OЕ=OD= OF=r= точка Про равноудалена від усіх сторін трикутника АВС, тобто. О-центр вписаного кола. (Точка О – єдина).

Висновок:в такий спосіб, якщо точка О- точка перетину бісектрис кутів трикутника, то OЕ=OD= OF=r, тобто. точка О рівновіддалена від усіх сторін трикутника АВС, отже, вона є центром вписаного кола. Точка О-перетину бісектрис кутів трикутника - чудова точка трикутника.

Наслідки:

З рівності трикутників АОF і AOD (рисунок 1) з гіпотенузи та гострого кута, випливає, що AF = AD . З рівності трикутників OBD та OBE випливає, що BD = BE , З рівності трикутників COE і COF випливає, що З F = CE . Таким чином, відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні.

AF=AD= z, BD=BE= y, СF=CE= x

а = х + у (1), b= х+z (2), с = х + у (3).

+ (2) - (3), то отримаємо: а+b-С =x+ y+ x+ z- z- y = а+b-С = 2x =

х = ( b + c - а)/2

Аналогічно: (1) + (3) - (2), то отримаємо: у = (а + с -b)/2.

Аналогічно: (2) + (3) - (1), то отримаємо: z= (а +b - c)/2.

Бісектриса кута трикутника розбиває протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.

1.3 Точка перетину медіан трикутника (центроїд)

Доказ 1.Нехай A 1 B 1 і C 1 -середини сторін BC, CA і AB трикутника ABC відповідно (рис.4).

Нехай G-точка перетину двох медіан AA 1 та BB 1 . Доведемо спочатку, що AG: GA 1 = BG: GB 1 = 2.

Для цього візьмемо середини P та Q відрізків AG та BG. По теоремі про середню лінію трикутника відрізки B 1 A 1 і PQ рівні половині сторони AB і паралельні їй. Тому чотирикутник A 1 B 1 PQ-паралелограм. Тоді точка G перетину його діагоналей PA 1 і QB 1 ділить кожну з них навпіл. Отже, точки P і G ділять медіану AA 1 на три рівні частини, а точки Q і G ділять медіану BB 1 також на три рівні частини. Отже, точка G перетину двох медіан трикутника ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини.

Точку перетину медіан трикутника називають центроїдом або центром тяжіння трикутник. Ця назва пов'язана з тим, що саме в цій точці знаходиться центр тяжкості трикутної однорідної пластини.

1.4 Точка перетину висот трикутника (ортоцентр)

1.5 Крапка Торрічеллі

Шлях дано трикутник ABC. Точкою Торрічеллі цього трикутника називається така точка O, з якої сторони цього трикутника видно під кутом 120 °, тобто. кути AOB, AOC та BOC дорівнюють 120°.

Доведемо, що у випадку, якщо всі кути трикутника менші за 120°, то точка Торрічеллі існує.

На стороні AB трикутника ABC збудуємо рівносторонній трикутник ABC" (рис. 6, а), і опишемо біля нього коло. Відрізок AB стягує дугу цього кола величиною 120 °. Отже, точки цієї дуги, відмінні від A і B, мають ту властивість, що відрізок AB видно з них під кутом 120 °. Аналогічним чином, на стороні AC трикутника ABC побудуємо рівносторонній трикутник ACB" (рис. 6, а), і опишемо біля нього коло. Точки відповідної дуги, відмінні A і C, мають ту властивість, що відрізок AC видно з них під кутом 120°. У разі коли кути трикутника менше 120°, ці дуги перетинаються в деякій внутрішній точці O. У цьому випадку ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Отже, і ∟BOC = 120 °. Тому точка O є шуканою.

У разі коли один з кутів трикутника, наприклад ABC, дорівнює 120°, точкою перетину дуг кіл буде точка B (рис. 6, б). У цьому випадку точки Торрічеллі не існує, тому що не можна говорити про кути, під якими видно з цієї точки сторони AB та BC.

У разі коли один з кутів трикутника, наприклад ABC, більше 120° (рис. 6, в), відповідні дуги кіл не перетинаються, і точки Торрічеллі також не існує.

З точкою Торрічеллі пов'язана задача Ферма (яку ми розглянемо на чолі II) знаходження точки, сума відстаней від якої до трьох даних точок найменша.

1.6 Окружність дев'яти точок

Справді, A 3 B 2 – середня лінія трикутника AHC і, отже, A 3 B 2 | CC 1 . B 2 A 2 – середня лінія трикутника ABC і, отже, B 2 A 2 | AB. Оскільки CC 1 ┴ AB, то A 3 B 2 A 2 = 90°. Аналогічно, A3C2A2=90°. Тому точки A 2 , B 2 , C 2 , A 3 лежать в одному колі з діаметром A 2 A 3 . Оскільки AA 1 ┴BC, то точка A 1 також належить цьому колу. Таким чином, точки A 1 і A 3 лежать на колі, описаному біля трикутника A2B2C2. Аналогічним чином показується, що точки B1 і B3, C1 і C3 лежать на цьому колі. Отже, всі дев'ять точок лежать на одному колі.

При цьому центр кола дев'яти точок лежить посередині між центром перетину висот та центром описаного кола. Справді, нехай у трикутнику ABC (рис. 9), точка O – центр описаного кола; G – точка перетину медіан. H точка перетину висот. Потрібно довести, що точки O, G, H лежать на одній прямій і центр кола дев'яти точок N поділяє відрізок OH навпіл.

Розглянемо гомотетію з центром у точці G та коефіцієнтом -0,5. Вершини A, B, C трикутника ABC перейдуть відповідно в точки A 2 B 2 C 2 . Висоти трикутника ABC перейдуть у висоти трикутника A 2 B 2 C 2 і, отже, точка H перейде до точки O. Тому точки O, G, H лежатимуть на одній прямій.

Покажемо, що середина N відрізка OH є центром кола дев'яти точок. Справді, C 1 C 2 – хорда кола дев'яти точок. Тому серединний перпендикуляр до цієї хорди є діаметром і перетинає OH у середині N. Аналогічно, серединний перпендикуляр до хорди B 1 B 2 є діаметром і перетинає OH у тій точці N. Значить N – центр кола дев'яти точок. Що і потрібно було довести.

Дійсно, нехай P – довільна точка, що лежить на колі, описаному біля трикутника ABC; D, E, F – основи перпендикулярів, опущених з точки P на сторони трикутника (рис. 10). Покажемо, що точки D, E, F лежать на одній прямій.

Зауважимо, що у випадку, якщо AP проходить через центр кола, то точки D і E збігаються з вершинами B і C. Інакше один з кутів ABP або ACP гострий, а інший – тупий. З цього випливає, що точки D та E будуть розташовані по різні сторони від прямої BC і для того, щоб довести, що точки D, E та F лежать на одній прямій, достатньо перевірити, що ∟CEF =∟BED.

Опишемо коло з діаметром CP. Оскільки ∟CFP = ∟CEP = 90°, то точки E та F лежать на цьому колі. Тому ∟CEF =∟CPF як вписані кути, що спираються на одну дугу кола. Далі, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Опишемо коло з діаметром BP. Оскільки ∟BEP = ∟BDP = 90°, то точки F і D лежать на цьому колі. Тому ∟BPD = ∟BED. Отже, остаточно отримуємо, що ∟CEF =∟BED. Значить, точки D, E, F лежать на одній прямій.

ГлаваIIВирішення задач

Почнемо із завдань, що належать до розташування бісектрис, медіан та висот трикутника. Їхнє рішення, з одного боку, дозволяє згадати пройдений раніше матеріал, а з іншого боку, розвиває необхідні геометричні уявлення, готує до вирішення складніших завдань.

Завдання 1.По кутах A та B трикутника ABC (∟A

Рішення.Нехай CD – висота, CE – бісектриса, тоді

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

Отже, ∟DCE =.

Рішення.Нехай O – точка перетину бісектрис трикутника ABC (рис. 1). Скористайтеся тим, що проти більшої сторони трикутника лежить більший кут. Якщо AB BC, то ∟A

Рішення. Нехай O – точка перетину висот трикутника ABC (рис. 2). Якщо AC ∟B. Коло з діаметром BC пройде через точки F і G. Враховуючи, що з двох хорд менше та, на яку спирається менший вписаний кут, отримуємо, що CG

Доведення.На сторонах AC і BC трикутника ABC, як у діаметрах, побудуємо кола. Точки A 1 , B 1 , C 1 належать до цих кіл. Тому ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, як кути, що спираються на ту саму дугу кола. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 як кути з взаємно перпендикулярними сторонами. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 , як кути, що спираються на ту саму дугу кола. Отже, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1 , тобто. CC 1 є бісектрисою кута B 1 C 1 A 1 . Аналогічним чином показується, що AA 1 і BB 1 є бісектрисами кутів B 1 A 1 C 1 і A 1 B 1 C 1 .

Розглянутий трикутник, вершинами якого є підстави висот даного трикутника, дає відповідь на одну з класичних екстремальних завдань.

Рішення.Нехай ABC – цей гострокутний трикутник. На його сторонах потрібно знайти такі точки A 1 , B 1 , C 1 для яких периметр трикутника A 1 B 1 C 1 був би найменшим (рис. 4).

Зафіксуємо спочатку точку C 1 і шукатимемо точки A 1 і B 1 , для яких периметр трикутника A 1 B 1 C 1 найменший (при цьому положенні точки C 1).

Для цього розглянемо точки D та E симетричні точки C 1 щодо прямих AC та BC. Тоді B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E і, отже, периметр трикутника A 1 B 1 C 1 буде дорівнює довжиніламаною DB 1 A 1 E. Зрозуміло, що довжина цієї ломанної найменша, якщо точки B 1 , A 1 лежать на прямій DE.

Тепер змінюватимемо положення точки C 1 і шукатимемо таке положення, при якому периметр відповідного трикутника A 1 B 1 C 1 найменший.

Так як точка D симетрична C 1 щодо AC, CD = CC 1 і ACD = ACC 1 . Аналогічно, CE=CC 1 і BCE=BCC 1 . Отже, трикутник CDE рівнобедрений. Його бічна сторона дорівнює CC1. Основа DE дорівнює периметру Pтрикутника A 1 B 1 C 1 . Кут DCE дорівнює подвоєному куту ACB трикутника ABC і, отже, залежить від положення точки C 1 .

У рівнобедреному трикутнику з даним кутом при вершині основа тим менша, чим менша бічна сторона. Тому найменше значенняпериметра Pдосягається у разі найменшого значення CC1. Це значення приймається, якщо CC 1 є висотою трикутника ABC. Таким чином, точкою C 1, що шукається, на стороні AB є підстава висоти, проведеної з вершини C.

Зауважимо, що ми могли б фіксувати спочатку не точку C 1 , а точку A 1 або точку B 1 і отримали б, що A 1 і B 1 є підставами для відповідних висот трикутника ABC.

З цього випливає, що шуканим трикутником, найменшого периметра, вписаним у цей гострокутний трикутник ABC є трикутник, вершинами якого є підстави висот трикутника ABC.

Рішення.Доведемо, що у разі, якщо кути трикутника менше 120°, то точкою, що шукається в задачі Штейнера, є точка Торрічеллі.

Повернемо трикутник ABC навколо вершини на кут 60°, рис. 7. Отримаємо трикутник A'B'C. Візьмемо довільну точку O в трикутнику ABC. При повороті вона перейде до якоїсь точки O'. Трикутник OO'C рівносторонній, оскільки CO = CO' та ∟OCO' = 60°, отже, OC = OO'. Тому сума довжин OA + OB + OC дорівнюватиме довжині ламаної AO + OO' + O'B'. Зрозуміло, що найменше значення довжина цієї ламаної набуває у випадку, якщо точки A, O, O', B' лежать на одній прямій. Якщо O - точка Торрічеллі, то це так. Дійсно, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Отже, точки A, O, O' лежать на одній прямій. Аналогічно, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. точки O, O', B' лежать на одній прямій, отже, всі точки A, O, O', B' лежать на одній прямій.

Висновок

Геометрія трикутника, нарівні з іншими розділами елементарної математики, дає можливість відчути красу математики взагалі і може стати для когось початком шляху до «великої науки».

Геометрія – дивовижна наука. Її історія налічує не одне тисячоліття, але кожна зустріч з нею здатна обдарувати і збагатити (як учня, так і вчителя) хвилюючою новизною маленького відкриття, що дивує радістю творчості. Дійсно, будь-яке завдання елементарної геометрії є, по суті, теорема, а її рішення – скромна (а іноді й величезна) математична перемога.

Історично геометрія починалася з трикутника, тому вже два з половиною тисячоліття трикутник є символом геометрії. Шкільна геометрія лише тоді може стати цікавою та змістовною, тільки тоді може стати власне геометрією, коли в ній з'являється глибоке та всебічне вивчення трикутника. Дивно, але трикутник, незважаючи на свою простоту, є невичерпним об'єктом вивчення - ніхто навіть у наш час не наважиться сказати, що вивчив і знає всі властивості трикутника.

У цій роботі було розглянуто властивості бісектрис, медіан, серединних перпендикулярів та висот трикутника, розширено число чудових точок та ліній трикутника, сформульовані та доведені теореми. Вирішено низку завдань застосування цих теорем.

Представлений матеріал може бути використаний як на основних уроках, так і факультативних заняттях, також при підготовці до централізованого тестування та олімпіадів з математики.

Список літератури

Берже М. Геометрія у двох томах - М: Світ, 1984.

Кисельов А. П. Елементарна геометрія. - М.: Просвітництво, 1980.

Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Нові зустрічі із геометрією. - М.: Наука, 1978.

Латотін Л.А., Чеботаравскій Б.Д. Математика 9. - Мінськ: Народна освіта, 2014.

Прасолов В.В. Завдання щодо планіметрії. - М.: Наука, 1986. - Ч. 1.

Сканаві М. І. Математика. Завдання із рішеннями. - Ростов-на-Дону: Фенікс, 1998.

Шаригін І.Ф. Завдання з геометрії: Планіметрія. - М.: Наука, 1986.

Цілі:
- узагальнити знання учнів по темі «Чотири чудові точки трикутника», продовжити роботу з формування навичок побудови висоти, медіани, бісектриси трикутника;

Познайомити учнів з новими поняттями вписаного кола в трикутник та описаного біля нього;

Розвивати навички дослідження;
- Виховувати наполегливість, точність, організованість учнів.
Завдання:розширити пізнавальний інтерес до предметагеометрія.
Обладнання:дошка, інструменти креслення, кольорові олівці, модель трикутника на альбомному листі; комп'ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку

1. Організаційний момент (1 хвилина)
Вчитель:На цьому уроці кожен з вас відчує себе в ролі інженера-дослідника після закінчення практичної роботиви зможете оцінити себе. Щоб робота була успішною, треба дуже точно і організовано виконувати всі дії з моделлю під час уроку. Бажаю успіху.
2.
Вчитель: накресліть у зошиту нерозгорнутий кут
В. Які ви знаєте способи побудови бісектриси кута?

Визначення бісектриси кута. Два учні виконують на дошці побудова бісектриси кута (за заздалегідь заготовленими моделями) двома способами: лінійкою, циркулем. Наступні два учні усно доводять твердження:
1. Яку властивість мають точки бісектриси кута?
2. Що можна сказати про точки, що лежать усередині кута і рівновіддалені від сторін кута?
Вчитель: накресліть у тетрадіострокутний трикутник АВС і будь-яким із способів, побудуйте бісектриси кута А та кута С, точка їх

перетину - точка О. Яку гіпотезу можете висунути про промінь ВО? Доведіть, що промінь ВО - бісектриса трикутника АВС. Сформулюйте висновок про розташування всіх бісектрис трикутника.
3. Робота із моделлю трикутника (5-7 хвилин).
1 варіант - гострокутний трикутник;
2 варіант - прямокутний трикутник;
3 варіант - тупокутний трикутник.
Вчитель: на моделі трикутника збудуйте дві бісектриси, обведіть їх жовтим кольором. Позначте точку перетину

бісектрис точкою К. Дивитись слайд № 1.
4. Підготовка до основного етапу уроку (10-13 хвилин).
Вчитель: накресліть у зошиті відрізок АВ. За допомогою яких інструментів можна збудувати серединний перпендикуляр до відрізка? Визначення серединного перпендикуляра. Два учні виконують на дошці побудову серединного перпендикуляра

(за заздалегідь заготовленими моделями) двома способами: лінійкою, циркулем. Наступні два учні усно доводять твердження:
1. Яку властивість мають точки серединного перпендикуляра до відрізка?
2. Що можна сказати про точки рівновіддалені від кінців відрізка АВ? Вчитель: накресліть у зошиті прямокутний трикутник АВС і побудуйте серединні перпендикуляри до двох будь-яких сторін трикутника АВС.

Визначте точку перетину О. Проведіть перпендикуляр до третьої сторони через точку О. Що ви помітили? Доведіть, що це серединний перпендикуляр до відрізка.
5. Робота з моделлю трикутника (5 хвилин). Вчитель: на моделі трикутника побудуйте серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника і обведіть їх зеленим кольором. Визначте точку перетину серединних перпендикулярів точкою О. Дивитись слайд № 2.

6. Підготовка до основного етапу уроку (5-7 хвилин). Вчитель: накресліть тупокутний трикутник АВС і побудуйте дві висоти. Позначте їх точку перетину О.
1. Що можна сказати про третю висоту (третя висота, якщо її продовжити за основу, проходитиме через точку О)?

2. Як довести, що всі висоти перетинаються в одній точці?
3. Яку нову фігуру утворюють ці висоти і чим вони є?
7. Робота із моделлю трикутника (5 хвилин).
Вчитель: на моделі трикутника побудуйте три висоти та обведіть їх синім кольором. Позначте точку перетину висот точкою Н. Дивіться слайд №3.

Урок другий

8. Підготовка до основного етапу уроку (10-12 хвилин).
Вчитель: накресліть трикутник АВС і побудуйте всі його медіани. Позначте їх точку перетину О. Яким властивістю мають медіани трикутника?

9. Робота з моделлю трикутника (5хвилин).
Вчитель: на моделі трикутника побудуйте три медіани та обведіть їх коричневим кольором.

Позначте точку перетину медіан точкою Т. Дивитись слайд № 4.
10. Перевірка правильності побудови (10-15 хвилин).
1. Що можна сказати про точку К? /Точка-точка перетину бісектрис, вона рівновіддалена від усіх сторін трикутника/
2. Покажіть на моделі відстань від точки До будь-якої сторони трикутника. Яку фігуру ви накреслили? Як розташований цей

відрізок до сторони? Виділіть жирно простим олівцем. (Дивитись слайд № 5).
3. Чим є точка, рівновіддалена від трьох точок площини, що не лежать на одній прямій? Побудуйте жовтим олівцем коло з центром К і радіусом, що дорівнює виділеній простим олівцем відстані. (Дивитись слайд № 6).
4. Що ви помітили? Як розташоване це коло щодо трикутника? Ви вписали коло в трикутник. Як можна назвати таке коло?

Вчитель дає визначення вписаного кола трикутник.
5. Що можна сказати про точку О? \ТочкаО -точка перетину серединних перпендикулярів і вона рівновіддалена від усіх вершин трикутника\. Яку фігуру можна побудувати, зв'язавши точки А,В,Ста О?
6. Побудуйте зеленим кольором коло (О; ОА). (Дивитись слайд № 7).
7. Що ви помітили? Як розташоване це коло щодо трикутника? Як можна назвати таке коло? Як можна назвати трикутник?

Вчитель дає визначення описаного кола біля трикутника.
8. Додайте до точкам О,Ні Т лінійку і проведіть червоним кольором пряму через ці точки. Ця пряма називається прямою

Ейлера. (Дивитись слайд № 8).
9. Порівняйте ВІД і ТН. Перевірте ВІД: ТН = 1: 2. (Дивитись слайд № 9).
10. а) Знайдіть медіани трикутника (коричневим кольором). Позначте чорнилом основи медіан.

Де ці три точки?
б) Знайдіть висоти трикутника (синім кольором). Позначте чорнилом основи висот. Скільки цих точок? \ 1 варіант-3; 2 варіант-2; 3 варіант-3 \. в) Виміряйте відстані від вершин до точки перетину висот. Назвіть ці відстані (АН,

ВН, СН). Знайдіть середини цих відрізків і виділіть чорнилом. Скільки таких

точок? \1 варіант-3; 2 варіант-2; 3 варіант-3.
11. Порахуйте, скільки вийшло точок, відмічених чорнилом? \ 1 варіант - 9; 2 варіант-5; 3 варіант-9 \. Позначте

точки D 1 , D 2 ..., D 9 . (Дивитись слайд № 10). Через ці точки можна побудувати коло Ейлера. Центр кола точка Е знаходиться в середині відрізка ВІН. Будуємо червоним кольором коло (Е; ЕD 1). Це коло, як і пряма, названа ім'ям великого вченого. (Дивитись слайд № 11).
11. Презентація про Ейлера (5 хвилин).
12. Підсумок(3 хвилини). Оцінка: «5» - якщо вийшли точно жовта, зелена і червона кола і пряма Ейлера. «4»-якщо неточно вийшли кола на 2-3мм. «3»- якщо неточно вийшли кола на 5-7мм.

© Кугушева Наталія Львівна, 2009 Геометрія, 8 клас ТРИКУТНИКА ЧОТИРИ ПРИМІТНІ ТОЧКИ

Точка перетину медіан трикутника Точка перетину бісектрис трикутника Точка перетину висот трикутника Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника

Медіаною (BD) трикутника називається відрізок, який з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. А В З D Медіана

Медіани трикутника перетинаються в одній точці (центрі тяжкості трикутника) і діляться цією точкою щодо 2:1, рахуючи від вершини. АМ: МА1 = ВМ: МВ1 = СМ: МС1 = 2:1. А А 1 В В 1 М З С 1

Бісектрисою (AD) трикутника називається відрізок бісектриси внутрішнього кута трикутника.

Кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін. Назад: кожна точка, що лежить усередині кута і рівновіддалена від сторін кута, лежить на його бісектрисі. А М В С

Всі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці-центрі вписаного в трикутник кола. Радіус кола (ОМ) – перпендикуляр, опущений з центру (т.о.) на бік трикутника

ВИСИНА Висотою (С D) трикутника називається відрізок перпендикуляра, опущеного з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону. A B C D

Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці. А А 1 В В 1 З 1

Серединний перпендикуляр Серединним перпендикуляром (DF) називається пряма, перпендикулярна стороні трикутника і ділить її навпіл. А D F B C

А М В m O Кожна точка серединного перпендикуляра (m) до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Назад: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до нього.

Всі серединні перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці-центрі описаного біля трикутника кола. А В С О Радіусом описаного кола є відстань від центру кола до будь-якої вершини трикутника (ОА). m n p

Завдання для учнів Побудуйте за допомогою циркуля та лінійки коло, вписане у тупокутний трикутник. Для цього: Побудуйте бісектрису в тупокутному трикутнику за допомогою циркуля та лінійки. Точка перетину бісектрис - центр кола. Побудуйте радіус кола: перпендикуляр із центру кола на бік трикутника. Побудуйте коло, вписане в трикутник.

2. Побудуйте за допомогою циркуля та лінійки коло, описане біля тупокутного трикутника. Для цього: Побудуйте серединні перпендикуляри до сторон тупокутного трикутника. Точка перетину цих перпендикулярів – центр описаного кола. Радіус кола - відстань від центру до будь-якої вершини трикутника. Побудуйте коло, описане біля трикутника.