Векторний простір. Розкладання вектора за базисом

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Векторне(або лінійне) простір- математична структура, яка є набором елементів, званих векторами, котрим визначено операції складання друг з одним і множення на число - скаляр. Ці операції підпорядковані восьми аксіом. Скаляри можуть бути елементами речового, комплексного або будь-якого іншого поля чисел. Приватним випадком подібного простору є звичайне тривимірне евклідове простір, вектори якого використовуються, наприклад, для представлення фізичних сил. При цьому слід зазначити, що вектор елемент векторного простору не обов'язково повинен бути заданий у вигляді спрямованого відрізка . Узагальнення поняття «вектор» до елемента векторного простору будь-якої природи не тільки не викликає змішування термінів, а й дозволяє усвідомити або навіть передбачити низку результатів, справедливих просторів довільної природи.

Векторні простори є предметом вивчення лінійної алгебри. Однією з головних характеристик векторного простору є його розмірність. Розмірність являє собою максимальну кількість лінійно незалежних елементів простору, тобто, вдаючись до грубого геометричного опису, число напрямків, невимовних один через одного за допомогою операцій складання і множення на скаляр. Векторний простір можна наділити додатковими структурами, наприклад нормою або скалярним твором. Подібні простори природно з'являються в математичному аналізі, переважно у вигляді нескінченномірних функціональних просторів ( англ.), де як вектори виступають функції . Багато проблем аналізу вимагають з'ясувати, чи сходиться послідовність векторів до цього вектора. Розгляд таких питань можливий у векторних просторах з додатковою структурою, в більшості випадків - відповідною топологією, що дозволяє визначити поняття близькості та безперервності. Такі топологічні векторні простори, зокрема, банахові та гільбертові, допускають глибше вивчення.

Крім векторів, лінійна алгебра вивчає також тензори вищого рангу (скаляр вважається тензором рангу 0, вектор - тензором рангу 1).

Перші праці, що передбачили введення поняття векторного простору, відносяться до XVII століття. Саме тоді свій розвиток отримали аналітична геометрія, вчення про матриці, системи лінійних рівнянь, евклідові вектори.

Визначення

Лінійне, або векторний простір $V\; \backslash left(F\; \backslash right)$над полем $F$- це впорядкована четвірка $(V,\; F,\; +,\; \backslash \; cdot)$, де

• $V$- Непорожнє безліч елементів довільної природи, які називаються векторами;
• $F$- (алгебраїчне) поле, елементи якого називаються скалярами;
• Визначено операцію додаваннявекторів $V\backslash times\; V\backslash to\; V$, зіставляє кожній парі елементів $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$безлічі $V$ $V$, званий їх сумоюі позначається $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Визначено операцію множення векторів на скалярі $F\backslash times\; V\backslash to\; V$, що співставляє кожному елементу $\backslash lambda$поля $F$і кожному елементу $\backslash mathbf(x)$безлічі $V$єдиний елемент множини $V$, що позначається $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$або $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Векторні простори, задані на тому самому безлічі елементів, але над різними полями, будуть різними векторними просторами (наприклад, безліч пар дійсних чисел $\backslash mathbb(R)^2$може бути двовимірним векторним простір над полем дійсних чисел або одномірним - над полем комплексних чисел).

Найпростіші властивості

1. Векторний простір є абелевою групою по додаванню.
2. Нейтральний елемент $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$для будь-кого $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Для будь-кого $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$протилежний елемент $-\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$є єдиним, що випливає із групових властивостей.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$для будь-кого $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$для будь-яких $\backslash alpha\; \backslash in\; F$і $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$для будь-кого $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Пов'язані визначення та властивості

Підпростір

Алгебраїчне визначення: Лінійний підпростірабо векторний підпростір― непуста підмножина $K$лінійного простору $V$таке, що $K$саме є лінійним простором по відношенню до певних $V$діям складання та множення на скаляр. Багато підпространств зазвичай позначають як $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Щоб підмножина була підпростором, необхідно і достатньо, щоб

1. для будь-якого вектора $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$також належав $K$, за будь-якого $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. для будь-яких векторів $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$також належав $K$.

Останні два твердження еквівалентні наступному:

Для будь-яких векторів $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$також належав $K$для будь-яких $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Зокрема, векторний простір, що складається з лише нульового вектора, є підпростором будь-якого простору; будь-який простір є підпростором самого себе. Підпростори, що не збігаються з цими двома, називають власнимиабо нетривіальними.

Властивості підпросторів

• Перетин будь-якої родини підпросторів - знову підпростір;
• Сума підпросторів $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$визначається як безліч, що містить всілякі суми елементів $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N(K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Сума кінцевого сімейства підпросторів – знову підпростір.

Лінійні комбінації

Кінцева сума виду

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Лінійна комбінація називається:

Базис. Розмірність

Вектори $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$називаються лінійно залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює нулю:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\; \backslash \; alpha\_2\; |\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

В іншому випадку ці вектори називаються лінійно незалежними.

Дане визначення допускає наступне узагальнення: безліч векторів з $V$називається лінійно залежнимякщо лінійно залежно деяке кінцевейого підмножина, і лінійно незалежнимякщо будь-яке його кінцевепідмножина лінійно незалежно.

Властивості базису:

• Будь-які $n$лінійно незалежних елементів $n$-мірного простору утворюють базисцього простору.
• Будь-який вектор $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$можна уявити (єдиним чином) у вигляді кінцевої лінійної комбінації базисних елементів:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Лінійна оболонка

Лінійна оболонка $\backslash mathcal\; V(X)$підмножини $X$лінійного простору $V$- перетин усіх підпросторів $V$, що містять $X$.

Лінійна оболонка є підпростором $V$.

Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим $X$. Говорять також, що лінійна оболонка $\backslash mathcal\; V(X)$- простір, натягнуте набезліч $X$.

Лінійна оболонка $\backslash mathcal\; V(X)$складається з всіляких лінійних комбінацій різних кінцевих підсистем елементів з $X$. Зокрема, якщо $X$- кінцеве безліч, то $\backslash mathcal\; V(X)$складається з усіх лінійних комбінацій елементів $X$. Таким чином, нульовий вектор завжди належить лінійній оболонці.

Якщо $X$- лінійно незалежне безліч, воно є базисом $\backslash mathcal\; V(X)$і цим визначає його розмірність.

Приклади

• Нульовий простір, єдиним елементом якого є нуль.
• Простір усіх функцій $X\backslash to\; F$з кінцевим носієм утворює векторний простір розмірності рівної потужності $X$.
• Поле дійсних чисел може бути розглянуте як континуально-вимірний векторний простір над полем раціональних чисел.
• Будь-яке поле є одновимірним простором над собою.

Додаткові структури

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Векторний простір"

Примітки

Література

• Гельфанд І. М.Лекції з лінійної алгебри. - 5-те. – М.: Добросвіт, МЦНМО, 1998. – 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд І. М.Лекції з лінійної алгебри. 5-те вид. – М.: Добросвіт, МЦНМО, 1998. – 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикін А. І., Манін Ю. І.Лінійна алгебра та геометрія. 2-ге вид. – М.: Наука, 1986. – 304 с.
• Кострикін А. І.Введення до алгебри. Ч. 2: Лінійна алгебра. - 3-тє. – М.: Наука., 2004. – 368 с. – (Університетський підручник).
• Мальцев А. І.Основи лінійної алгебри. - 3-тє. – М.: Наука, 1970. – 400 с.

• Постніков М. М.Лінійна алгебра (Лекції з геометрії. Семестр II). - 2-ге. – М.: Наука, 1986. – 400 с.
• Стренґ Г.Лінійна алгебра та її застосування = Linear Algebra and Its Applications. – М.: Світ, 1980. – 454 с.
• Ільїн В. А., Позняк Е. Г.Лінійна алгебра. 6-те вид. – М.: Фізматліт, 2010. – 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П.Звичайні векторні простори = Finite-Dimensional Vector Spaces. – М.: Фізматгіз, 1963. – 263 с.
• Фаддєєв Д. К.Лекції з алгебри. - 5-те. - СПб. : Лань, 2007. - 416 с.
• Шафаревич І. Р., Ремізов А. О.Лінійна алгебра та геометрія. - 1-е. – М.: Фізматліт, 2009. – 511 с.
• Шрейєр О., Шпернер Г.Введення в лінійну алгебру в геометричному викладі = Ольшанський Г. (переклад з німецької). - М.-Л.: ОНТІ, 1934. - 210 с.

Вектори та матриці Вектори Основні поняття Види векторів Операції над векторами Типи просторів Матриці Основні поняття інше

Уривок, що характеризує векторний простір

Кутузов пройшов рядами, зрідка зупиняючись і говорячи кількома ласкавих слів офіцерам, що він знав по турецькій війні, котрий іноді солдатам. Поглядаючи на взуття, він кілька разів сумно похитував головою і вказував на неї австрійському генералові з таким виразом, що ніби не дорікав цьому нікого, але не міг не бачити, як це погано. Полковий командир щоразу при цьому забігав уперед, боячись упустити слово головнокомандувача щодо полку. Ззаду Кутузова, на такій відстані, що всяке слабо вимовлене слово могло бути почуте, йшло чоловік 20 почти. Панове свити розмовляли між собою і іноді сміялися. Найближчим за головнокомандувачем йшов гарний ад'ютант. То був князь Болконський. Поруч із ним йшов його товариш Несвицький, високий штаб офіцер, надзвичайно товстий, з добрим, усміхненим гарним обличчям і вологими очима; Несвицький ледве утримувався від сміху, який збуджував чорнуватий гусарський офіцер, що йшов біля нього. Гусарський офіцер, не посміхаючись, не змінюючи виразу очей, що зупинилися, з серйозним обличчям дивився на спину полкового командира і передражнивав кожен його рух. Щоразу, як полковий командир здригався і нагинався вперед, так само, точнісінько так само, здригався і нагинався вперед гусарський офіцер. Несвицький сміявся і штовхав інших, щоб дивилися на забавника.
Кутузов йшов повільно і мляво повз тисячу очей, які викочувалися зі своїх орбіт, стежачи за начальником. Порівнявшись із третій ротою, він раптом зупинився. Світлана, не передбачаючи цієї зупинки, мимоволі насунулася на нього.
– А, Тимохін! – сказав головнокомандувач, дізнаючись капітана з червоним носом, який постраждав за синю шинель.
Здавалося, не можна було витягуватися більше, ніж витягувався Тимохін, тоді як полковий командир робив йому зауваження. Але в цю хвилину звернення до нього головнокомандувача капітан витягнувся так, що, здавалося, подивись на нього головнокомандувача ще кілька часу, капітан не витримав би; і тому Кутузов, мабуть зрозумівши його становище і бажаючи, навпаки, всякого добра капітанові, поспішно відвернувся. По пухкому, понівеченому раною обличчю Кутузова пробігла трохи помітна посмішка.
- Ще ізмайлівський товариш, - сказав він. – Хоробрий офіцер! Ти задоволений ним? - Запитав Кутузов у ​​полкового командира.
І полковий командир, відбиваючись, як у дзеркалі, невидимо для себе, в гусарському офіцері, здригнувся, підійшов уперед і відповів:
- Дуже задоволений, ваше превосходительство.
- Ми всі не без слабкостей, - сказав Кутузов, посміхаючись і відходячи від нього. – Мав прихильність до Бахуса.
Полковий командир злякався, чи він не винен у цьому, і нічого не відповів. Офіцер цієї хвилини помітив обличчя капітана з червоним носом і підтягнутим животом і так схоже передражнив його обличчя і позу, що Несвицький не міг утримати сміху.
Кутузов обернувся. Видно було, що офіцер міг керувати своїм обличчям, як хотів: в ту хвилину, як Кутузов обернувся, офіцер встиг зробити гримасу, а потім прийняти найсерйозніший, шанобливіший і безневинний вираз.
Третя рота була остання, і Кутузов задумався, мабуть пригадуючи щось. Князь Андрій виступив зі почту і французькою мовою тихо сказав:
- Ви наказали нагадати про розжалованого Долохова в цьому полку.
- Де тут Долохов? - Запитав Кутузов.
Долохов, уже переодягнений у солдатську сіру шинель, не чекав, щоб його викликали. Струнка фігура білявого з ясними блакитними очима солдата виступила з фронту. Він підійшов до головнокомандувача і зробив на варту.
– Претензія? - Нахмурившись злегка, запитав Кутузов.
– Це Долохов, – сказав князь Андрій.
– A! - Сказав Кутузов. - Сподіваюся, що цей урок тебе виправить, служи добре. Государ милостивий. І я не забуду тебе, якщо ти заслужиш.
Блакитні ясні очі дивилися на головнокомандувача так само зухвало, як і на полкового командира, ніби своїм виразом розриваючи завісу умовності, що відокремлювала так далеко головнокомандувача від солдата.
- Про одне прошу, ваше превосходительство, - сказав він своїм звучним, твердим, неспішним голосом. - Прошу дати мені нагоду загладити мою провину і довести мою відданість государю імператору та Росії.
Кутузов відвернувся. На обличчі його промайнула та ж усмішка очей, як і в той час, коли він відвернувся від капітана Тимохіна. Він відвернувся і скривився, ніби хотів висловити цим, що все, що йому сказав Долохов, і все, що він міг сказати йому, він давно, давно знає, що все це вже набридло йому і що це зовсім не те, що потрібно . Він відвернувся і попрямував до коляски.
Полк розібрався ротами і попрямував до призначених квартир недалеко від Браунау, де сподівався взутися, одягнутися та відпочити після важких переходів.
– Ви на мене не претендуєте, Прохоре Ігнатійовичу? - сказав полковий командир, об'їжджаючи третю роту, що рухалася до місця і під'їжджаючи до капітана Тимохіна, що йшов попереду. Обличчя полкового командира виражало після щасливо відбутого огляду нестримну радість. – Служба царська… не можна… іноді у фронті обірвеш… Сам вибачусь перший, ви мене знаєте… Дуже дякував! - І він простяг руку ротному.
- Помилуйте, генерале, та чи смію я! – відповів капітан, червоніючи носом, посміхаючись і розкриваючи усмішкою нестачу двох передніх зубів, вибитих прикладом під Ізмаїлом.
- Та пану Долохову передайте, що я його не забуду, щоб він був спокійним. Та скажіть, будь ласка, я все хотів запитати, що він, як поводиться? І все…
– По службі дуже справний, ваше превосходительство… але карахтер… – сказав Тимохін.
– А що, що характер? - спитав полковий командир.
- Знаходить, ваше превосходительство, днями, - говорив капітан, - то й розумний, і вчений, і добрий. А то звір. У Польщі було вбито жида, будьте ласкаві…
- Ну так, ну так, - сказав полковий командир, - все треба пошкодувати хлопця в нещасті. Адже великі зв'язки… То ви того…
– Слухаю, ваше превосходительство, – сказав Тимохін, усмішкою даючи відчувати, що він розуміє бажання начальника.
- Ну да ну да.
Полковий командир знайшов у лавах Долохова і притримав коня.
– До першої справи – еполети, – сказав він йому.
Долохов озирнувся, нічого не сказав і не змінив виразу свого рота, що глузливо посміхався.
- Ну, от і добре, - вів далі полковий командир. – Людям по чарці горілки від мене, – додав він, щоби солдати чули. – Дякую всім! Слава Богу! - І він, обігнавши роту, під'їхав до іншої.
- Що ж, він, справді, хороша людина; з ним служити можна, – сказав Тимохін субалтерн офіцеру, що йшов біля нього.
– Одне слово, червоний!… (полкового командира прозвали червоним королем) – сміючись, сказав субалтерн офіцер.
Щасливе настрій начальства після огляду перейшло і до солдатів. Рота йшла весело. З усіх боків розмовляли солдатські голоси.
- Як же казали, Кутузов кривий, про одне око?
- А то ні! Зовсім кривою.
– Не… брате, очманіший за тебе. Чоботи та підкрутки – все оглянув…
– Як він, братику мій, гляне на ноги мені… ну! думаю…
– А другий то австріяк, з ним був, наче крейдою вимазаний. Як мука, білий. Я чай, як чистять амуніцію!
- Що, Федешоу! ... казав він, чи, коли страждання почнуться, ти ближче стояв? Говорили все, у Брунові сам Бунапарт стоїть.
- Бунапарт стоїть! бач, бреше, дурепа! Чого не знає! Тепер прусак бунтує. Австріяк його, значить, утихомирює. Як він примириться, тоді і з Бунапартом війна відкриється. А то, каже, у Брунові Бунапарті стоїть! То й видно, що дурень. Ти слухай більше.
– Бач чорти квартир'єри! П'ята рота, дивись, уже на село завертає, вони кашу зварять, а ми ще до місця не дійдемо.
- Дай сухарика те, чорте.
- А тютюну то вчора дав? То, брате. Ну, на, Бог із тобою.
- Хоч би привал зробили, а то ще верст п'ять пропрем не їсти.
— То було любо, як німці нам коляски подавали. Їдеш, знай: важливо!
– А тут, братику, народ зовсім шалений пішов. Там все начебто поляк був, все російської корони; а нині, брате, суцільний німець пішов.
- Пісенники вперед! – почувся крик капітана.
І перед ротою з різних лав вибігло чоловік двадцять. Барабанник заспівало обернувся обличчям до піснярів, і, махнувши рукою, затягнув протяжну солдатську пісню, що починалася: «Чи не зоря, сонечко займалося…» і закінчилася словами: «То те, братики, буде слава нам з Кам'янським батьком…» Пісня ця була складена у Туреччині і співалася тепер в Австрії, тільки з тією зміною, що на місце «Каменським батьком» вставляли слова: «Кутузовим батьком».
Відірвавши по солдатськи ці останні слова і махнувши руками, ніби він кидав щось на землю, барабанщик, сухий і гарний солдат років сорока, суворо оглянув солдатів піснярів і замружився. Потім, переконавшись, що всі очі спрямовані на нього, він ніби обережно підняв обома руками якусь невидиму, дорогоцінну річ над головою, потримав її кілька секунд і раптом відчайдушно кинув її.
Ах, ви, сіни мої, сіни!
«Сені нові мої…», підхопили двадцять голосів, і ложечник, незважаючи на тяжкість амуніції, жваво вискочив уперед і пішов задом перед ротою, поворухуючи плечима і погрожуючи комусь ложками. Солдати, розмахуючи руками в такт пісні, йшли просторим кроком, мимоволі потрапляючи в ногу. Позаду роти почулися звуки коліс, похрумкування ресор і тупіт коней.
Кутузов із почтом повертався до міста. Головнокомандувач дав знак, щоб люди продовжували йти вільно, і на його обличчі і на всіх обличчях його почту висловилося задоволення при звуках пісні, побачивши танцюючого солдата і солдатів роти, що весело і жваво йшли. У другому ряду, з правого флангу, з якого коляска обганяла роти, мимоволі впадав у вічі блакитноокий солдат, Долохов, який особливо жваво і граціозно йшов у такт пісні і дивився на обличчя проїжджаючих з таким виразом, наче він шкодував усіх, хто не йшов. у цей час із ротою. Гусарський корнет із почту Кутузова, який передразнивав полкового командира, відстав від коляски і під'їхав до Долохова.
Гусарський корнет Жерков у Петербурзі належав до того буйному суспільству, яким керував Долохов. За кордоном Жерков зустрів Долохова солдатом, але не вважав за потрібне впізнати його. Тепер, після розмови Кутузова з розжалованим, він із радістю старого друга звернувся до нього:
- Друг сердешний, ти як? - сказав він при звуках пісні, рівняючи крок свого коня з кроком роти.
- Я як? - відповів холодно Долохов, - як бачиш.
Жвава пісня надавала особливого значення тону розв'язної веселості, з якою говорив Жерков, і навмисної холодності відповідей Долохова.
– Ну, як ладнаєш із начальством? - Запитав Жерков.
- Нічого, добрі люди. Ти як у штаб затесався?
- Прикомандований, чергую.
Вони помовчали.
"Випускала сокола та з правого рукава", говорила пісня, мимоволі збуджуючи бадьоре, веселе почуття. Розмова їх, мабуть, була б іншою, якби вони говорили не при звуках пісні.
- Що правда, австрійців побили? - Запитав Долохов.
– А чорт їх знає, кажуть.
- Я радий, - відповів Долохов коротко і ясно, як того вимагала пісня.
– Що ж, приходь до нас колись увечері, фараон закладеш, – сказав Жерков.
– Чи у вас багато грошей завелося?
– Приходь.
– Не можна. Зарок дав. Не п'ю і не граю, доки не зроблять.
– Та що ж, до першої справи…
- Там буде видно.
Знову вони помовчали.
– Ти заходь, коли що треба, всі у штабі допоможуть… – сказав Жерков.
Долохов посміхнувся.
- Ти краще не турбуйся. Мені що треба, я просити не стану, сам візьму.
– Та що ж, я так…
– Ну і я так.
– Прощавай.
- Будь здоров…
… і високо, і далеко,
На рідний бік...
Жерков торкнув шпорами кінь, який три рази, гарячкував, перебив ногами, не знаючи, з якого почати, впорався і поскакав, обганяючи роту і наздоганяючи коляску, теж у такт пісні.

Повернувшись з огляду, Кутузов, супутній австрійським генералом, пройшов у свій кабінет і, клікнувши ад'ютанта, наказав подати собі деякі папери, що належали до стану військ, і листи, отримані від ерцгерцога Фердинанда, який керував передовою армією. Князь Андрій Болконський із необхідними паперами увійшов до кабінету головнокомандувача. Перед розкладеним на столі планом сиділи Кутузов та австрійський член гофкрігсрату.
– А… – сказав Кутузов, оглядаючись на Болконського, ніби цим словом запрошуючи ад'ютанта почекати, і продовжував французькою розмовою.
- Я тільки говорю одне, генерале, - говорив Кутузов із приємною витонченістю висловів та інтонації, що змушувало вслухатися в кожне неквапливо сказане слово. Видно було, що Кутузов сам із задоволенням слухав себе. - Я тільки одне кажу, генерале, що якби справа залежала від мого особистого бажання, то воля його величності імператора Франца давно була б виконана. Я давно вже приєднався б до ерцгерцога. І вірте моїй честі, що для мене особисто передати вище начальство армією більше за мене обізнаного й майстерного генерала, яким така багата Австрія, і скласти з себе всю цю тяжку відповідальність для мене особисто було б відрадою. Але обставини бувають сильнішими за нас, генерале.
І Кутузов усміхнувся з таким виразом, ніби він казав: «Ви маєте повне право не вірити мені, і навіть мені абсолютно байдуже, чи вірите ви мені чи ні, але ви не маєте приводу сказати це мені. І в цьому вся справа».
Австрійський генерал мав незадоволений вигляд, але не міг не в тому самому тоні відповідати Кутузову.
- Навпаки, - сказав він буркотливим і сердитим тоном, що так суперечило приємному значенню слів, що вимовляються, - навпаки, участь вашого превосходительства в загальній справі високо цінується його величністю; але ми вважаємо, що справжнє уповільнення позбавляє славні російські війська та його головнокомандувачів тих лаврів, які вони звикли пожинати у битвах, – закінчив він мабуть підготовлену фразу.
Кутузов вклонився, не зраджуючи посмішки.
- А я так переконаний і, ґрунтуючись на останньому листі, яким вшанував мене його високість ерцгерцог Фердинанд, припускаю, що австрійські війська, під начальством такого майстерного помічника, який генерал Мак, тепер уже здобули рішучу перемогу і не потребують більше нашої допомоги, - сказав Кутузов.
Генерал насупився. Хоч і не було позитивних звісток про поразку австрійців, але було надто багато обставин, що підтверджували спільні невигідні чутки; і тому припущення Кутузова про перемогу австрійців було дуже схоже на глузування. Але Кутузов лагідно посміхався, все з тим самим виразом, який говорив, що він має право припускати це. Дійсно, останній лист, отриманий ним з армії Мака, сповіщав його про перемогу і про найвигідніше стратегічне становище армії.
– Дай сюди цей лист, – сказав Кутузов, звертаючись до князя Андрія. - Ось бажаєте бачити. - І Кутузов, з глузливою усмішкою на кінцях губ, прочитав по німецькому австрійському генералу наступне місце з листа ерцгерцога Фердинанда: « konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch один Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Lіnie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere sae Allirte mitgan. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Russeische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereit. [Ми маємо цілком зосереджені сили, близько 70 000 чоловік, тому ми можемо атакувати і розбити ворога у разі переправи його через Лех. Оскільки ми вже володіємо Ульмом, то ми можемо утримувати за собою вигоду командування обома берегами Дунаю щохвилини, якщо ворог не перейде через Лех, переправитися через Дунай, кинутися на його комунікаційну лінію, нижче перейти назад Дунай і ворога, якщо він надумає обернути всю свою силу на наших вірних союзників, не дати виконати його намір. Таким чином ми будемо бадьоро чекати часу, коли імператорська російська армія зовсім виготовиться, і потім разом легко знайдемо можливість приготувати ворога долю, на яку він заслуговує ».]

ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР (лінійний простір), одне з фундаментальних понять алгебри, узагальнююче поняття сукупності (вільних) векторів. У векторному просторі замість векторів розглядаються будь-які об'єкти, які можна складати та множити на числа; при цьому потрібно, щоб основні властивості алгебри цих операцій були такими ж, як і для векторів в елементарній геометрії. У точному визначенні числа замінюються елементами будь-якого поля К. Векторним простором над полем К називається безліч V з операцією складання елементів з V і операцією множення елементів з V на елементи з поля К, які мають наступні властивості:

х + у = у + х для будь-яких х, у з V, тобто щодо складання V є абелевою групою;

λ(х + у) = λ χ + λу для будь-яких λ з К і х, у з V;

(λ + μ)х = λх + μх для будь-яких λ, μ з К і х з V;

(λ μ)х = λ(μх) для будь-яких λ, μ з К і х з V;

1х = х для будь-якого х із V, тут 1 означає одиницю поля К.

Прикладами векторного простору є: множини L 1 , L 2 і L 3 всіх векторів з елементарної геометрії, відповідно на прямій, площині та у просторі із звичайними операціями складання векторів та множення на число; координатний векторний простір K n , елементами якого є всілякі рядки (вектори) довжини n з елементами з поля К, а операції задані формулами

безліч F(M, К) всіх функцій, визначених на фіксованому множині М і приймають значення в полі До, зі звичайними операціями над функціями:

Елементи векторного простору е 1 ..., е n називаються лінійно незалежними, якщо з рівності λ 1 e 1 + ... +λ n е n = 0 Є V випливає, що всі λ 1 , λ 2 ,..., λ n = 0 Є К. У протилежному випадку елементи е 1 , е 2 , ···> е n називаються лінійно залежними. Якщо у векторному просторі V будь-які n + 1 елементів e 1 ,..., е n+1 лінійно залежні і існує n лінійно незалежних елементів, то V називається n-мірним векторним простором, а n - розмірно- стию векторного простору V. Якщо у векторному просторі V для будь-якого натурального n існує n лінійно незалежних векторів, то V називається нескінченномірним векторним простором. Наприклад, векторний простір L 1 , L 2 , L 3 і К n відповідно 1-, 2-, 3- і n-мірні; якщо М - безліч, то векторний простір F(М, К) нескінченномірно.

Векторний простір V і U над полем К називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення φ : V -> U таке, що φ(х+у) = φ(х) + φ(у) для будь-яких х, у з V та φ (λх) = λ φ(х) для будь-яких λ із До і х із V. Ізоморфні векторні простори є алгебраїчно нерозрізняними. Класифікація кінцевих векторних просторів з точністю до ізоморфності дається їх розмірністю: будь-який n-вимірний векторний простір над полем До ізоморфно координатного векторного простору До n . Дивись також простір Гільберта, Лінійна алгебра.

Лекція 6. Векторний простір.

Основні питання.

1. Векторний лінійний простір.

2. Базис та розмірність простору.

3. Орієнтація простору.

4. Розкладання вектора за базисом.

5. Координати вектора.

1. Векторний лінійний простір.

Безліч, що складається з елементів будь-якої природи, в яких визначено лінійні операції: додавання двох елементів та множення елемента на число називаються просторами, А їх елементи - векторамицього простору і позначаються як і, як і векторні величини в гео-метрии: . Векторитаких абстрактних просторів, як правило, нічого спільного не мають із звичайними геометричними векторами. Елементами абстрактних просторів можуть бути функції, система чисел, матриці і т. д., а в окремому випадку і звичайні вектори. Тому такі простори прийнято називати векторними просторами .

Векторні простори, наприклад, безліч колі-неарних векторів, що позначається V1 , безліч компланарних векторів V2 , безліч векторів звичайного (реального простору) V3 .

Для цього окремого випадку можна дати наступне визначеннявекторного простору.

Визначення 1.Безліч векторів називається векторним простором, Якщо лінійна комбінація будь-яких векторів множини також є вектором цього множини. Самі вектори називаються елементамивекторного простору.

Найважливішим як і теоретичному, і у прикладному відношенні є загальне (абстрактне) поняття векторного простору.

Визначення 2.Безліч Rелементів , в якому для будь-яких двох елементів і визначена сума і для будь-якого елемента width="68" називається векторним(або лінійним) простором, яке елементи – векторами, якщо операції складання векторів і множення вектора на число задовольняють наступним умовам ( аксіомам) :

1) додавання комутативно, тобто. gif width = "184" height = "25">;

3) існує такий елемент (нульовий вектор), що для будь-якого https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" 99" height="27">;

5) для будь-яких векторів та будь-якого числа λ має місце рівність ;

6) для будь-яких векторів та будь-яких чисел λ і µ справедлива рівність і будь-яких чисел і будь-яких чисел λ і µ справедливо ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif".

З аксіом, що визначають векторний простір, випливають найпростіші слідства :

1. У векторному просторі є лише один нуль – елемент – нульовий вектор.

2. У векторному просторі кожен вектор має єдиний протилежний вектор.

3. До кожного елемента виконується рівність .

4. Для будь-якого дійсного числа λ і нульового вектора.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> називається вектор , що задовольняє рівності https://pandia.ru/text/80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Отже, дійсно, і безліч всіх геометричних векторів є лінійним (векторним) простором, так як для елементів цього множини визначені дії додавання і множення на число, що задовольняють сформульованим аксіомам.

2. Базис та розмірність простору.

Істотними поняттями векторного простору є поняття базису та розмірність.

Визначення.Сукупність лінійно незалежних векторів, взятих у певному порядку, через які лінійно виражається будь-який вектор простору, називається базисомцього простору. Вектор. Складові базис простору, називається базисним .

Базисом безлічі векторів, розташованих на довільній прямій, можна вважати один колінеарний прямий вектор .

Базисом на площиніназвемо два неколлінеарні вектори на цій площині, взяті в певному порядку .

Якщо базисні вектори попарно перпендикулярні (ортогональні), то базис називається ортогональним, а якщо ці вектори мають довжину, рівну одиниці, то базис називається ортонормованим .

Найбільша кількістьлінійно незалежних векторів простору називається розмірністюцього простору, т. е. розмірність простору збігається з числом базисних векторів цього простору.

Отже, відповідно до даних визначень:

1. Одномірним простором V1 є пряма лінія, а базис складається з одного колінеарноговектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39"

3. Звичайний простір є тривимірним простором V3 , базис якого складається з трьох некомпланарнихвекторів.

Звідси ми бачимо, що число базисних векторів на прямий, на плоскості, в реальному просторі збігається з тим, що в геометрії прийнято називати числом вимірювань (розмірністю) прямої, площині, простору. Тому природно запровадити більш загальне визначення.

Визначення.Векторний простір Rназивається n- мірним, якщо в ньому існує не більше nлінійно незалежних векторів і позначається R n. Число nназивається розмірністюпростору.

Відповідно до розмірності простору поділяються на кінцевіі нескінченномірні. Розмірність нульового простору за визначенням вважається рівною нулю.

Зауваження 1.У кожному просторі можна вказати скільки завгодно базисів, але при цьому всі базиси даного простору складаються з одного числа векторів.

Примітка 2.У n- мірному векторному просторі базисом називають будь-яку впорядковану сукупність nлінійно незалежні вектори.

3. Орієнтація простору.

Нехай базисні вектори у просторі V3 мають загальний початокі упорядковані, Т. е. Вказано який вектор вважається першим, який - другим і який - третім. Наприклад, у базисі вектори впорядковані відповідно до індексації.

Для того щоб орієнтувати простір, необхідно задати якийсь базис і оголосити його позитивним .

Можна показати, що безліч усіх базисів простору розпадається на два класи, тобто на два підмножини, що не перетинаються.

а) всі базиси, що належать одному підмножині (класу), мають однаковуорієнтацію ( однойменні базиси);

б) всякі два базиси, що належать різнимпідмножин (класами), мають протилежнуорієнтацію, ( різноіменнібазиси).

Якщо один із двох класів базисів простору оголошений позитивним, а інший – негативним, то кажуть, що це простір орієнтовано .

Часто при орієнтації простору одні базиси називають правими, а інші - лівими .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> називають правим, Якщо при спостереженні з кінця третього вектора найкоротший поворот першого вектора здійснюється проти годинникової стрілки(Рис. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Мал. 1.8. Правий базис (а) та лівий базис (б)

Зазвичай позитивним базисом оголошується правий базис простору.

Правий (лівий) базис простору може бути визначений і за допомогою правила «правого» («лівого») гвинта або свердла.

За аналогією з цим вводиться поняття правої та лівої трійкинеком-нарних векторів, які повинні бути впорядковані (рис.1.8).

Таким чином, у загальному випадку дві впорядковані трійки некомпланованих векторів мають однакову орієнтацію (одноіменні) у просторі V3 якщо вони обидві праві або обидві ліві, і - протилежну орієнтацію (різноіменні), якщо одна з них права, а інша - ліва.

Аналогічно надходять і у разі простору V2 (Площини).

4. Розкладання вектора за базисом.

Це питання для простоти міркувань розглянемо на прикладі тривимірного векторного простору R3 .

Нехай - довільний вектор цього простору.

Головізін В.В. Лекції з алгебри та геометрії. 4

Лекції з алгебри та геометрії. Семестр 2

Лекція 22. Векторний простір.

Короткий зміст: визначення векторного простору, його найпростіші властивості, системи векторів, лінійна комбінація системи векторів, тривіальна та нетривіальна лінійна комбінація, лінійно залежні та незалежні системи векторів, умови лінійної залежності або незалежності системи векторів, підсистеми системи векторів, системи стовпців арифметичного вектора.

п.1. Визначення векторного простору та його найпростіші властивості.

Тут, задля зручності читача, ми повторюємо зміст п.13 лекції 1.

Визначення. Нехай - довільна непорожня множина, елементи якої ми називатимемо векторами, K – поле, елементи якого ми називатимемо скалярами. Нехай на безлічі визначена внутрішня бінарна операція алгебри, яку ми будемо позначати знаком + і називати додаванням векторів. Нехай також на безлічі визначено зовнішню бінарну операцію алгебри, яку ми називатимемо множенням вектора на скаляр і позначатимемо знаком множення. Тобто визначено два відображення:

Безліч разом з цими двома операціями алгебри називається векторним простором над полем К, якщо виконуються наступні аксіоми:

1. Додавання асоціативно, тобто.

2. Існує нульовий вектор, тобто.

3. Для будь-якого вектора існує протилежний йому:

Вектор у, протилежний вектору х, зазвичай позначається -х, так що

4. Додавання комутативно, тобто. .

5. Розмноження вектора на скаляр підпорядковується закону асоціативності, тобто.

де твір є твір скалярів, визначений у полі До.

6. де 1 - це одиниця поля До.

7. Розмноження вектора на скаляр дистрибутивно щодо складання векторів:

8. Розмноження вектора на скаляр дистрибутивно щодо складання скалярів: .

Визначення. Векторний простір над полем дійсних чисел називається речовим векторним простором.

Теорема. (Найпростіші властивості векторних просторів.)

1. У векторному просторі існує єдиний нульовий вектор.

2. У векторному просторі будь-який вектор має єдиний протилежний йому.

3. або
.

4. .

Доведення. 1) Єдиність нульового вектора доводиться також як єдиність одиничної матриць і, взагалі, як єдиність нейтрального елемента будь-якої внутрішньої бінарної операції алгебри.

Нехай 0 – нульовий вектор векторного простору V. Тоді. Нехай
- Ще один нульовий вектор. Тоді. Візьмемо у першому випадку
, а у другому –
. Тоді
і
звідки випливає, що
, Ч.т.д.

2а) Спочатку ми доведемо, що добуток нульового скаляра на будь-який вектор дорівнює нульовому вектору.

Нехай
. Тоді, застосовуючи аксіоми векторного простору, отримуємо:

Щодо додавання векторний простір є абелевою групою, а в будь-якій групі справедливий закон скорочення. Застосовуючи закон скорочення, з останньої рівності випливає

.

2б) Тепер доведемо твердження 4). Нехай
- Довільний вектор. Тоді

Звідси відразу ж випливає, що вектор
є протилежним вектору x.

2в) Нехай тепер
. Тоді, застосовуючи аксіоми векторного простору,
і
отримуємо:

2г) Нехай
і припустимо, що
. Так як
, де К - поле, то існує
. Помножимо рівність
зліва на
:
звідки слідує
або
або
.

Теорему доведено.

п.2. Приклади векторні простори.

1) Безліч числових речових функцій однієї змінної, безперервних на інтервалі (0; 1) щодо звичайних операцій складання функцій та множення функції на число.

2) Безліч багаточленів від однієї літери з коефіцієнтами з поля K щодо складання багаточленів та множення багаточленів на скаляр.

3) Безліч комплексних чисел щодо складання комплексних чисел та множення на дійсне число.

4) Безліч матриць одного й того ж розміру з елементами з поля відносно складання матриць і множення матриць на скаляр.

Наступний приклад є важливим окремим випадком прикладу 4.

5) Нехай – довільне натуральне число. Позначимо через множину всіх стовпців висоти n, тобто. безліч матриць над полем K розміру
.

Безліч є векторним простором над полем і називається арифметичним векторним простором стовпців висоти n над полем K.

Зокрема, якщо замість довільного поля взяти поле дійсних чисел , то векторний простір
називається речовим арифметичним векторним простором стовпців висоти n.

Аналогічно, векторним простором є безліч матриць над полем K розміру
або, інакше, рядків довжини n. Воно позначається через і також називається арифметичним векторним простором рядків довжини n над полем K.

п.3. Системи векторного простору вектор.

Визначення. Системою векторів векторного простору називають будь-яку кінцеву непорожню безліч векторів цього простору.

Позначення:
.

Визначення. Вираз

, (1)

де - скаляри поля К - вектори векторного простору V, називається лінійною комбінацією системи векторів
. Скаляри називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Визначення. Якщо всі коефіцієнти лінійної комбінації (1) дорівнюють нулю, то таку лінійну комбінацію називають тривіальною, інакше – нетривіальною.

приклад. Нехай
система із трьох векторів векторного простору V. Тоді

– тривіальна лінійна комбінація цієї системи векторів;

– нетривіальна лінійна комбінація цієї системи векторів, т.к. перший коефіцієнт цієї комбінації
.

Визначення. Якщо будь-який вектор векторного простору V може бути представлений у вигляді:

то кажуть, що вектор х лінійно виражається через вектори системи
. У цьому випадку кажуть також, що система
лінійно представляє вектор x.

Зауваження. У цьому та попередньому визначенні слово "лінійно" часто пропускають і кажуть, що система представляє вектор або вектор виражається через вектори системи тощо.

приклад. Нехай
– система із двох стовпців арифметичного речового векторного простору стовпців висоти 2. Тоді стовпець
лінійно виражається через стовпці системи або дана система стовпців лінійно представляє стовпець х. Справді,

п.4. Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів векторного простору.

Так як добуток нульового скаляра на будь-який вектор є нульовим вектором і сума нульових векторів дорівнює нульовому вектору, то для будь-якої системи векторів виконується рівність

Звідси випливає, що нульовий вектор лінійно виражається через вектори будь-якої системи векторів або, інакше кажучи, будь-яка система векторів лінійно представляє нульовий вектор.

приклад. Нехай
. У цьому випадку нульовий стовпець можна лінійно виразити через стовпці системи не одним способом:

або

Щоб розрізняти ці способи лінійного представлення нульового вектора, введемо таке визначення.

Визначення. Якщо виконується рівність

і при цьому всі коефіцієнти , то кажуть, що система
представляє нульовий вектор тривіально. Якщо ж у рівності (3) хоча б один із коефіцієнтів
не дорівнює нулю, тоді кажуть, що система векторів
представляє нульовий вектор нетривіально.

З останнього прикладу ми бачимо, що існують системи векторів, які можуть являти собою нульовий вектор нетривіально. З наступного прикладу ми побачимо, що існують системи векторів, які можуть представляти нульовий вектор нетривіально.

приклад. Нехай
- Система двох стовпців з векторного простору. Розглянемо рівність:

,

де
невідомі поки що коефіцієнти. Використовуючи правила множення стовпця на скаляр (число) та додавання стовпців, отримуємо рівність:

.

З визначення рівності матриць випливає, що
і
.

Таким чином, ця система не може представляти нульовий стовпець нетривіально.

З наведених прикладів випливає, що є два види систем векторів. Одні системи представляють нульовий вектор нетривіально, інші ні. Зазначимо ще раз, що будь-яка система векторів є нульовим вектором тривіально.

Визначення. Система векторів векторного простору, яка представляє нульовий вектор ТІЛЬКИ тривіально називається лінійно незалежною.

Визначення. Система векторів векторного простору, яка може уявити нульовий вектор, нетривіально називається лінійно залежною.

Останнє визначення можна дати більш розгорнутому вигляді.

Визначення. Система векторів
векторного простору V називається лінійно залежною, якщо знайдеться такий ненульовий набір скалярів поля K

Зауваження. Будь-яка система векторів
може представляти нульовий вектор тривіально:

Але цього недостатньо, щоб з'ясувати лінійно залежна або лінійно незалежна дана система векторів. З визначення випливає, що лінійно незалежна система векторів неспроможна представляти нульовий вектор нетривіально, лише тривіально. Тому для того, щоб переконатися в лінійній незалежності даної системи векторів, потрібно розглянути подання нуля довільною лінійною комбінацією цієї системи векторів:

Якщо ця рівність неможлива за умови, щоб хоча б один коефіцієнт цієї лінійної комбінації був ненульовий, тоді ця система є за визначенням лінійно незалежною.

Так, у прикладах попереднього параграфа система стовпців
є лінійно незалежною, а система стовпців
є лінійно залежною.

Аналогічно доводиться лінійна незалежність системи стовпців , , ... ,

з простору, де До - довільне поле, n - довільне натуральне число.

Наступні теореми дають кілька критеріїв лінійної залежності і лінійної незалежності систем векторів.

Теорема. (Необхідна та достатня умова лінійної залежності системи векторів.)

Система векторів векторного простору є лінійно залежною тоді і лише тоді, коли один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи.

Доведення. Необхідність. Нехай система
лінійно залежна. Тоді, за визначенням, вона становить нульовий вектор нетривіально, тобто. існує нетривіальна лінійна комбінація даної системи векторів, що дорівнює нульовому вектору:

де хоча б один із коефіцієнтів цієї лінійної комбінації не дорівнює нулю. Нехай
,
.

Розділимо обидві частини попередньої рівності на цей ненульовий коефіцієнт (тобто помножимо на :

Позначимо:
де .

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи, ч.т.д.

Достатність. Нехай один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи:

Перенесемо вектор у праву частину цієї рівності:

Оскільки коефіцієнт при векторі дорівнює
, то маємо нетривіальне уявлення нуля системою векторів
що означає, що ця система векторів є лінійно залежною, ч.т.д.

Теорему доведено.

Слідство.

1. Система векторів векторного простору є лінійно незалежною тоді і лише тоді, коли жоден із векторів системи лінійно не виражається через інші вектори цієї системи.

2. Система векторів, що містить нульовий вектор або два рівні вектори, є лінійно залежною.

Доведення.

1) Необхідність. Нехай система є лінійно незалежною. Допустимо неприємне і існує вектор системи, що лінійно виражається через інші вектори цієї системи. Тоді за теоремою система є лінійно залежною і ми приходимо до суперечності.

Достатність. Нехай жоден із векторів системи не виражається через інші. Допустимо неприємне. Нехай система лінійно залежна, але тоді з теореми випливає, що існує вектор системи, що лінійно виражається через інші вектори цієї системи і ми знову приходимо до протиріччя.

2а) Нехай система містить нульовий вектор. Допустимо для визначеності, що вектор
:. Тоді очевидно рівність

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що така система векторів є лінійно залежною, т.д.

Зауважимо, що це можна довести безпосередньо з визначення лінійно залежної системи векторів.

Так як
, то наступна рівність очевидна

Це нетривіальне уявлення нульового вектора, отже система
є лінійно залежною.

2б) Нехай система має два рівні вектори. Нехай для певності
. Тоді очевидно рівність

Тобто. перший вектор лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що система лінійно залежна, ч.т.д.

Аналогічно попередньому це твердження можна довести безпосередньо визначення лінійно залежної системи.

Справді, оскільки
, то вірна рівність

тобто. ми маємо нетривіальне уявлення нульового вектора.

Слідство доведено.

Теорема (Про лінійну залежність системи з одного вектора).

Система, що складається з одного вектора, є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.

Доведення.

Необхідність. Нехай система
лінійно залежна, тобто. існує нетривіальне уявлення нульового вектора

,

де
і
. З найпростіших властивостей векторного простору випливає, що тоді
.

Достатність. Нехай система складається з одного нульового вектора
. Тоді ця система представляє нульовий вектор нетривіально

,

звідки випливає лінійна залежність системи
.

Теорему доведено.

Слідство. Система, що складається з одного вектора, є лінійно незалежною тоді і тільки тоді, коли цей вектор ненульовий.

Доказ залишається читачеві як вправу.

ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР, лінійний простір, над полем K, - адитивно записана абелева група Е, в якій визначено множення елементів на скаляри, тобто відображення

К × Е → Е: (λ, х) → λх,

що задовольняє наступним аксіомам (х, y ∈ Е, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(х + у) = λх + λу,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = х.

З аксіом 1)-4) випливають такі важливі властивості векторного простору (0 ∈ Е):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ х = 0,

Елементи Ст п. зв. точками Ст п., або векторами, а елементи поля K - скалярами.

Найбільше застосування в математиці та додатках мають Ст над полем ℂ комплексних чисел або над полем ℝ дійсних чисел; вони зв. відповідно комплексними Ст п. або дійсними Ст п.

Аксіоми Ст п. виявляють деякі алгебраїч. властивості багатьох класів функцій, які часто зустрічаються в аналізі. З прикладів Ст п. найбільш фундаментальними і найбільш ранніми є n-мірні евклідові простори. Майже такими ж важливими прикладами є багато функціональних просторів: простір безперервних функцій, простір вимірних функцій, простір сумованих функцій, простір аналітич. функцій, простір функцій обмеженої варіації.

Поняття Ст є приватний випадок поняття модуля над кільцем, а саме, Ст є унітарний модуль над полем. Унітарний модуль над некомутативним тілом також зв. векторний простір над тілом; теорія таких Ст п. багато в чому складніше теорії Ст п. над полем.

Одною з важливих завдань, Пов'язаних з Ст п., є вивчення геометрії Ст п., тобто вивчення прямих у Ст п., плоских і опуклих множин у Ст п., підпросторів Ст п. і базисів Ст Ст.

Векторним підпростором, або просто підпростором, Ст п. Е над полем До зв. підмножина F ⊂ E, замкнена щодо дій складання та множення на скаляр. Підпростір, що розглядається окремо від простору, що вміщає його, є Ст над тим же полем.

Прямою лінією, що проходить через дві точки х та y В. п. Е, зв. безліч елементів z ∈ E виду z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Безліч G ∈ E зв. плоским безліччю, якщо разом із будь-якими двома точками воно містить пряму, що проходить через ці точки. Кожна плоска множина виходить з деякого підпростору за допомогою зсуву ( паралельного перенесення): G = x + F; це означає, що кожен елемент z ∈ G представимо єдиним чином у вигляді z = x + y, y ∈ F, причому ця рівність здійснює взаємно однозначну відповідність між F і G.

Сукупність всіх зрушень F x = x + F даного підпростору F утворює Ст п. над K, зв. фактор-простором E/F, якщо визначити операції наступним чином:

F x F y = F x + y; λF x = F λx , λ ∈ До.

Нехай М = (х α) α∈A - довільна множина векторів з Е; лінійною комбінацією векторів х α ∈ Е зв. вектор х, визначений формулою

х = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

в до-рой лише кінцеве число коефіцієнтів від нуля. Сукупність всіх лінійних комбінацій векторів даної множини М є найменшим підпростором, що містить М, і зв. лінійною оболонкою множини М. Лінійна комбінація зв. тривіальною, якщо всі коефіцієнти λ α дорівнюють нулю. Безліч М зв. лінійно незалежною безліччю, якщо всі нетривіальні лінійні комбінації векторів з М відмінні від нуля.

Будь-яке лінійно незалежне безліч міститься у деякому максимальному лінійно незалежному множині М 0 , т. е. у такій множині, яке перестає бути лінійно незалежним після приєднання до нього будь-якого елемента з Е.

Кожен елемент х ∈ Е може бути єдиним чином представлений у вигляді лінійної комбінації елементів максимальної лінійно незалежної множини:

х = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

У зв'язку з цим максимальна лінійно незалежна безліч зв. базисом Ст п. (алгебраїчним базисом). Усі базиси даного Ст п. мають однакову потужність, к-раю зв. розмірністю Ст п. Якщо ця потужність кінцева, простір зв. кінцевомірним Ст п.; інакше воно зв. нескінченномірним Ст п.

Поле K можна розглядати як одновимірне Ст над полем K; базис цього Ст п. складається з одного елемента; ним може бути будь-який елемент, відмінний від нуля. Звичайномірне Ст п. з базисом з n елементів зв. n-мірним простором.

У теорії дійсних і комплексних Ст важливу роль відіграє теорія опуклих множин. Безліч М у дійсному Ст п. зв. опуклим безліччю, якщо разом із будь-якими двома його точками х, у відрізок tx + (1 - t)y, t ∈ , також належить М.

Велике місце в теорії Ст п. займає теорія лінійних функціоналів на Ст п. n пов'язана з цим теорія двоїстості. Нехай Е є Ст над полем K. Лінійним функціоналом на Е зв. адитивне та однорідне відображення f: Е → К:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = f(x).

Безліч Е* всіх лінійних функціоналів на Е утворює Ст над полем K щодо операцій

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), х ∈ Е, Х ∈ К, f 1 , f 2 , f ∈ Е*.

Це Ст п. зв. пов'язаним (або двоїстим) простором (до Е). З поняттям пов'язаного простору пов'язаний ряд геометричних. термінів. Нехай D ⊂ E (відповідно Г ⊂ Е*); анулятором множини D, або ортогональним доповненням множини D (відповідно множини Г) зв. безліч

D ⊥ = (f ∈ Е*: f(x) = 0 для всіх х ∈ D)

(відповідно Г ⊥ = (х ∈ Е: f(x) = 0 для всіх f ∈ Г)); тут D ⊥ і Г ⊥ - підпростори відповідно до просторів Е* і Е. Якщо f - ненульовий елемент з Е*, то (f) є максимальний власний лінійний підпростір в Е, зв. іноді гіперпідпростором; зсув такого підпростору зв. гіперплощиною в Е; всяка гіперплощина має вигляд

(x: f(x) = λ), де f ≠ 0, f ∈ Е*, λ ∈ K.

Якщо F - підпростір В. п. Е, то існують природні ізоморфізми між F * і

E*/F ⊥ та між (E/F)* та F ⊥ .

Підмножина Р ⊂ E* зв. тотальним підмножиною над Е, якщо його анулятор містить лише нульовий елемент: ⊥ = (0).

Кожній лінійно незалежній множині (х α ) α∈A ⊂ E можна зіставити пов'язану множину (f α ) α∈A ⊂ E*, тобто. така множина, що f α (x β) = δ αβ (Кронекера символ) для всіх α, β ∈ A. Безліч пap (х α , f α ) зв. при цьому біоортогональна система. Якщо безліч (х α) є базис в Е, то (f α) тотально над Е.

Значне місце в теорії Ст займає теорія лінійних перетвореньВ. п. Нехай Е 1 , Е 2 - два В. п. над одним і тим же полем К. Лінійним відображенням, або лінійним оператором, Т, що відображає В. п. Е 1 В. п. Е 2 (або лінійним оператором з Е 1 в Е 2), зв. адитивне та однорідне відображення простору Е 1 в Е 2:

Т(х + у) = Тх + Ту; Т(λх) = λТ(х); х, у ∈ Е 1 .

Приватним випадком цього поняття є лінійний функціонал, або лінійний оператор з Е 1 в K. Лінійним відображенням є, напр., природне відображення Ст п. Е на факторпростір E/F, що співставляє кожному елементу х ∈ Е плоска множина F x ∈ E/ F. Сукупність ℒ(Е 1 , Е 2) всіх лінійних операторів Т: Е 1 →Е 2 утворює Ст п. щодо операцій

(Т 1 + Т 2) х = Т 1 х + Т 2 х; (λТ)х = λТх; х ∈ Е 1; λ ∈ K; T 1 , T 2 , Т ∈ ℒ (Е 1, Е 2).

Два Ст п. Е 1 і Е 2 зв. ізоморфними Ст п., якщо існує лінійний оператор («ізоморфізм»), що здійснює взаємно однозначну відповідність між їх елементами. Е 1 та Е 2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли їх базиси мають однакову потужність.

Нехай Т - лінійний оператор, що відображає Е 1 Е 2 . Сполученим лінійним оператором, або двоїстим лінійним оператором, стосовно Т, зв. лінійний оператор Т* з E* 2 до Е* 1 визначений рівністю

(Т*φ)х = φ(Тх) для всіх х ∈ Е 1 , φ ∈ Е* 2 .

Мають місце співвідношення Т * -1 (0) = ⊥ , Т * (Е * 2) = [Т -1 (0)] ⊥ , звідки випливає, що Т * є ізоморфізм тоді і тільки тоді, коли Т є ізоморфізм.

З теорією лінійних відображень Ст п. тісно пов'язана теорія білінійних відображень і полілінійних відображень Ст п. п.

Важливу групу заданої теорії Ст п. утворюють завдання продовження лінійних відображень. Нехай F - підпростір В. п. Е 1 Е 2 - лінійний простір над тим же полем, що і Е 1 і нехай Т 0 - лінійне відображення F в Е 2 ; потрібно знайти продовження Т відображення T 0 , визначений усім Е 1 і є лінійним відображенням Е 1 в Е 2 . Таке продовження завжди існує, але додаткові обмеження на функції (пов'язані з додатковими структурами у Ст, наприклад, топологією або ставленням порядку) можуть зробити завдання нерозв'язним. Прикладами розв'язання задачі продовження є теорема Хана-Банаха і теореми про продовження позитивних функціоналів у просторах з конусом.

Важливим розділом теорії Ст є теорія операцій над Ст п., тобто способів побудови нових Ст п. за відомими. Приклади таких операцій - відомі операції взяття підпростору та утворення факторпростору по підпростору. Інші важливі операції - побудова прямої суми, прямого твору та тензорного твору Ст.

Нехай (Е α ) α∈I - сімейство В. п. над полем К. Множина Е - добуток множин Е α - можна перетворити на В. п. над полем К, ввівши операції

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

отримане Ст п. Е зв. прямим твором Ст п. Е α і позначається П α∈I Е α . Підпростір В. п. Е, що складається з усіх тих наборів (х α), для кожного з яких брало безліч (α: х α ≠ 0) звичайно, зв. прямою сумою Ст п. Е α і позначається Σ α E α або Σ α + E α ; Для кінцевого числа доданків ці визначення збігаються; у цьому випадку використовуються позначення:

Нехай Е 1 Е 2 - два Ст п. над полем K; Е" 1 , Е" 2-тотальні підпростори В. п. E * 1 , Е * 2 і Е 1 □ Е 2 -В. п., що має своїм базисом сукупність всіх елементів простору Е1 × Е2. Кожному елементу x □ y ∈ E 1 □ E 2 зіставляється білінійна функція b = Т(х, у) на Е" 1 × Е 2 за формулою b(f, g) = f(x)g(y), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Це відображення базисних векторів x □ y ∈ E 1 □ E 2 можна продовжити до лінійного відображення Т В. п. Е 1 □ Е 2 у В. п. всіх білінійних функціоналів на Е" 1 × Е" 2 . Нехай E 0 = T -1 (0). Тензорним твором В. п. Е 1 і Е 2 зв. факторпростір Е 1 ○ Е 2 = (E 1 □ E 2)/E 0 ; y позначається х ○ у.В.

Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраїчні структури. Лінійна та полілінійна алгебра, пров. з франц., М., 1962; Райков Д. А., Векторні простори, М., 1962; Дей М. М., Нормовані лінійні простори, пров. з англ., М., 1961; , Едвард Р., Функціональний аналіз, пров. з англ., М., 1969; Халмош П., Звичайні векторні простори, пров. з англ., М., 1963; Глазман І. М., Любіч Ю. І., Звичайномірний лінійний аналіз у завданнях, М., 1969.

М. І. Кадець.

Джерела:

1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (голова ред) [та ін.] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.