Визначення 5. Елементарними перетвореннямисистеми лінійних рівнянь називаються її наступні перетворення:

1) перестановка будь-яких двох рівнянь місцями;

2) множення обох частин одного рівняння на будь-яке число;

3) додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь-яке число k;

(при цьому решта рівнянь залишаються незмінними).

Нульовим рівняннямназиваємо рівняння наступного виду:

Теорема 1. Будь-яка кінцева послідовність елементарних перетворень і перетворення викреслювання нульового рівняння переводить одну систему лінійних рівнянь рівносильну їй іншу систему лінійних рівнянь.

Доведення.З огляду на властивості 4 попереднього пункту досить довести теорему кожному за перетворення окремо.

1. При перестановці рівнянь у системі місцями самі рівняння незмінюються, тому за визначенням отримана система рівносильна початковій.

2. У силу першої частини доказу достатньо довести твердження для першого рівняння. Помножимо перше рівняння системи (1) на число , отримаємо систему

(2)

Нехай  системи (1) . Тоді числа задовольняють усі рівняння системи (1). Оскільки всі рівняння системи (2) крім першого збігаються з рівняннями системи (1), то числа задовольняють всі ці рівняння. Оскільки числа задовольняють першому рівнянню системи (1), має місце вірне числове рівність:

Помножуючи його на число K, Отримаємо правильну числову рівність:

Т. о. встановлюємо, що системи (2).

Назад, якщо рішення системи (2), то числа задовольняють усім рівнянням системи (2). Оскільки всі рівняння системи (1) крім першого збігаються з рівняннями системи (2), то числа задовольняють всі ці рівняння. Оскільки числа задовольняють першому рівнянню системи (2), то справедлива числова рівність (4). Розділивши обидві його частини на число, отримаємо числову рівність (3) і доводимо, що розв'язання системи (1).

Звідси за визначенням 4 система (1) рівносильна системі (2).

3. У силу першої частини доказу достатньо довести твердження для першого та другого рівняння системи. Додамо до обох частин першого рівняння системи відповідні частини другого помножені на число K, отримаємо систему

(5)

Нехай рішення системи (1) . Тоді числа задовольняють усі рівняння системи (1). Оскільки всі рівняння системи (5) крім першого збігаються з рівняннями системи (1), то числа задовольняють всі ці рівняння. Оскільки числа задовольняють першому рівнянню системи (1), мають місце вірні числові рівності:

Додаючи почленно до першої рівності друге, помножене на число Kотримаємо правильну числову рівність.

Нехай - Система векторів m з . Основними елементарними перетвореннями системи векторів є

1. - додавання одного з векторів (вектору ) лінійної комбінації інших.

2. - множення одного з векторів (вектора) на число, що не дорівнює нулю.

3. перестановка двох векторів () місцями. Системи векторів будемо називати еквівалентними (позначення), якщо існує ланцюжок елементарних перетворень, що переводить першу систему в другу.

Відзначимо властивості введеного поняття еквівалентності векторів

(Рефлексивність)

З випливає, що (симетричність)

Якщо і , то (транзитивність) Теорема.Якщо система векторів лінійно незалежна, їй еквівалентна, то система – лінійно незалежна. Доведення.Очевидно, що теорему достатньо довести для системи, отриманої за допомогою одного елементарного перетворення. Припустимо, що система векторів лінійно незалежна. Тоді з цього випливає, що . Нехай система отримана за допомогою одного елементарного перетворення. Очевидно, що перестановка векторів або множення одного з векторів на число, що не дорівнює нулю, не змінює лінійної незалежності системи векторів. Допустимо тепер, що система векторів отримана із системи додаванням до вектора лінійної комбінації інших, . Потрібно встановити, що (1) випливає що Оскільки , то з (1) отримуємо . (2)

Т.к. система – лінійно незалежна, то з (2) випливає, що всім .

Звідси отримуємо. Що і потрібно було довести.

57. Матриці. додавання матриць множення матриці на скляр матриці як векторний простірйого розмірність.

Вид матриці: квадратна

Додавання матриць



Властивості додавання матриць:

1. комутативність: A + B = B + A;

Розмноження матриці на число

Множення матриці А на число ? (позначення: ? A) полягає в побудові матриці B, елементи якої отримані шляхом множення кожного елемента матриці A на це число, тобто кожен елемент матриці B дорівнює: Bij = Aij

Властивості множення матриць на число:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Вектор рядок і вектор стовпець

Матриці розміру m x 1 і 1 x n є елементами просторів K^n та K^m відповідно:

матриця розміру m x1 називається вектор-стовпцем і має спеціальне позначення:

Матриця розміру 1 x n називається векторним рядком і має спеціальне позначення:

58. Матриці. Додавання множення матриць. Матриці як кільце, властивості кільця матриць.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що складається з m однакової довжини рядків або n однакової довжини стробців.

aij- елемент матриці, який знаходиться в i-му рядку і j-му стовпці.

Вид матриці: квадратна

Квадратна матриця - це матриця з рівним числом стовпців та рядків.

Додавання матриць

Додавання матриць А+В є операція знаходження матриці С, всі елементи якої дорівнюють попарній сумі всіх відповідних елементів матриць А і В, тобто кожен елемент матриці дорівнює Сij = Aij + Bij

Властивості додавання матриць:

1. комутативність: A + B = B + A;

2. асоціативність: (A+B)+C =A+(B+C);

3. додавання з нульовою матрицею: A + Θ = A;

4. Існування протилежної матриці: A + (-A) = Θ;

Усі властивості лінійних операцій повторюють аксіоми лінійного простору і тому справедлива теорема:

Безліч всіх матриць однакових розмірів mxn з елементами поля P (поля всіх дійсних або комплексних чисел) утворює лінійний простір над полем P (кожна така матриця є вектором цього простору).

Розмноження матриць

Множення матриць (позначення: АВ, рідше зі знаком множення А х В) - є операція обчислення матриці С, кожен елемент якої дорівнює сумі творів елементів у відповідному рядку першого множника та стовпчику другого.

Кількість стовпців у матриці А має збігатися з кількістю рядків у матриці В, інакше кажучи, матриця А повинна бути узгодженою з матрицею В. Якщо матриця А має розмірність m x n , B - n x k , то розмірність їх твору AB = C є m x k ​​.

Властивості множення матриць:

1. асоціативність (AB) C = A (BC);

2.некомутативність (загалом): AB BA;

3.твір комутативно у разі множення з одиничною матрицею: AI = IA;

4.дистрибутивність: (A + B) C = AC + BC, A (B + C) = AB + AC;

5. асоціативність та комутативність щодо множення на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Зворотні матриці. Особливі та неособливі елементарні перетворення рядків матриці. Елементарні матриці. Розмноження на елементарні матриці.

зворотна матриця- така матриця A −1, при множенні на яку вихідна матриця Aдає в результаті поодиноку матрицю E:

Елементарними перетвореннями рядківназивають:

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

Елементарні перетворення оборотні.

Позначення вказує на те, що матриця може бути отримана шляхом елементарних перетворень (або навпаки).

Дві системи лінійних рівнянь від одного набору x 1 ..., x n невідомих і відповідно з m і p рівнянь

Називаються еквівалентними, якщо їх безлічі рішень і збігаються (тобто підмножини і K n збігаються, ). Це означає, що: або вони одночасно є порожніми підмножинами (тобто обидві системи (I) і (II) несумісні), або вони одночасно непусті, і (тобто кожне рішення системи I є рішенням системи II і кожне рішення Система II є рішенням системи I).

Приклад 3.2.1.

Метод Гауса

План алгоритму, запропонованого Гаусом, був дуже простий:

  1. застосовувати до системи лінійних рівнянь послідовно перетворення, що не змінюють безліч рішень (у такий спосіб ми зберігаємо безліч рішень вихідної системи), і перейти до еквівалентної системи, що має "простий вигляд" (так звану ступінчасту форму);
  2. для "простого виду" системи (зі ступінчастою матрицею) описати безліч рішень, що збігаються з безліччю рішень вихідної системи.

Зазначимо, що близький метод "фан-чен" був відомий вже у давньокитайській математиці.

Елементарні перетворення систем лінійних рівнянь (рядок матриць)

Визначення 3.4.1 (елементарне перетворення 1-го типу). При до i-му рівняння системи додається k-е рівняння, помножене на число (позначення: (i)"=(i)+c(k); тобто лише одне i-е рівняння (i) замінюється на нове рівняння (i)"=(i)+c(k)). Нове i-е рівняння має вигляд (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k, або, коротко,

Т. е. в новому i-му рівнянні a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Визначення 3.4.2 (елементарне перетворення 2-го типу). При i -е і k -е рівняння змінюються місцями, інші рівняння не змінюються (позначення: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Зауваження 3.4.3. Для зручності у конкретних обчисленнях можна застосовувати елементарне перетворення 3-го типу: i-е рівняння множиться на ненульове число , (i)" = c (i) .

Пропозиція 3.4.4. Якщо від системи I ми перейшли до системи II за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень 1-го та 2-го типу, то від системи II можна повернутися до системи I також елементарними перетвореннями 1-го та 2-го типу.

Доведення.

Зауваження 3.4.5. Твердження вірно і з включенням до елементарних перетворень елементарного перетворення 3-го типу. Якщо і (i)"=c(i) , то та (i)=c -1 (i)" .

Теорема 3.4.6.Після послідовного застосування кінцевого числа елементарних перетворень 1-го або 2-го типу до системи лінійних рівнянь виходить система лінійних рівнянь, еквівалентна початковій.

Доведення. Зауважимо, що досить розглянути випадок переходу від системи I до системи II за допомогою одного елементарного перетворення і довести для багатьох рішень включення (оскільки через доведену пропозицію від системи II можна повернутися до системи I і тому матимемо включення, тобто буде доведено рівність).

Нижче розглядаються системи лінійних рівнянь над полем змінними ДОВИЗНАЧЕННЯ. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожне рішення будь-якої з цих систем є рішенням іншої системи.

Наступні пропозиції виражають властивості рівносильності, які з визначення рівносильності і зазначених вище властивостей слідування систем.

ПРОПОЗИЦІЯ 2.2. Дві системи лінійних рівнянь рівносильні тоді і лише тоді, коли кожна з цих систем є наслідком іншої системи.

ПРОПОЗИЦІЯ 2.3. Дві системи лінійних рівнянь рівносильні тоді й лише тоді, коли множина всіх рішень однієї системи збігається з множиною всіх рішень іншої системи.

ПРОПОЗИЦІЯ 2.4. Дві системи лінійних рівнянь рівносильні в тому і лише в тому випадку, якщо рівносильні предикати, які визначають ці системи.

ВИЗНАЧЕННЯ. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

(а) множення обох частин якогось рівняння системи на відмінний від нуля скаляр;

(Р) додавання (віднімання) до обох частин будь-якого рівняння системи відповідних частин іншого рівняння системи, помножених на скаляр;

Виключення із системи або приєднання до системи лінійного рівняння з нульовими коефіцієнтами та нульовим вільним членом.

ТЕОРЕМА 2.5. Якщо одна система лінійних рівнянь виходить з іншої системи лінійних рівнянь у результаті ланцюжка елементарних перетворень, ці дві системи рівносильні.

Доведення. Нехай дана система

Якщо помножити одне з її рівнянь, наприклад, перше на відмінний від нуля скаляр X, то отримаємо систему

Кожне рішення системи (1) є рішення системи (2).

Назад: якщо - будь-яке рішення системи (2),

то, помноживши першу рівність і не змінюючи наступних рівностей, отримаємо рівності, що показують, що вектор є рішенням системи (1). Отже, система (2) дорівнює вихідній системі (1). Так само легко перевірити, що одноразове застосування до системи (1) елементарного перетворення (Р) або призводить до системи, що дорівнює вихідній системі (1). Так як відношення рівносильності транзитивне, то багаторазове застосування елементарних перетворень призводить до системи рівнянь, що дорівнює вихідній системі (1).

СЛІДСТВО 2.6. Якщо одного із рівнянь системи лінійних рівнянь додати лінійну комбінацію інших рівнянь системи, то вийде система рівнянь, рівносильна вихідної.

СЛІДСТВО 2.7. Якщо виключити із системи лінійних рівнянь або приєднати до неї рівняння, що є лінійною комбінацією інших рівнянь системи, то вийде система рівнянь, що дорівнює вихідній системі.


§7. Системи лінійних рівнянь

Рівносильні системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь.

Нехай З- Поле комплексних чисел. Рівняння виду

де
, називається лінійним рівнянням з nневідомими
. Упорядкований набір
,
називається рішенням рівняння (1), якщо .

Системою mлінійних рівнянь з nневідомими називається система рівнянь виду:

- Коефіцієнти системи лінійних рівнянь, - Вільні члени.

Прямокутна таблиця

,

називається матрицею розміру
. Введемо позначення: - i-Та рядок матриці,
- k-Тий стовпець матриці. Матрицю Аще позначають
або
.

Наступні перетворення рядків матриці Аназиваються елементарними:
) виключення нульового рядка; ) множення всіх елементів будь-якого рядка на число
; ) додаток до будь-якого рядка будь-якого іншого рядка, помноженого на
. Аналогічні перетворення стовпців матриці Аназиваються елементарними перетвореннями матриці А.

Перший ненульовий елемент (вважаючи ліворуч праворуч) будь-якого рядка матриці Аназивається провідним елементом цього рядка.

Визначення. Матриця
називається ступінчастою, якщо виконуються такі умови:

1) нульові рядки матриці (якщо вони є) знаходяться нижче ненульових;

2) якщо
провідні елементи рядків матриці, то

Будь-яку ненульову матрицю А у вигляді рядкових елементарних перетворень можна призвести до ступінчастої матриці.

приклад. Наведемо матрицю
до ступінчастої матриці:
~
~
.

Матрицю, складену з коефіцієнтів системи лінійних рівнянь (2) називають основною матрицею системи. Матрицю
, Отриману з приєднанням стовпця вільних членів, називають розширеною матрицею системи.

Упорядкований набір називається рішенням системи лінійних рівнянь (2), якщо він є рішенням кожного лінійного рівняння цієї системи.

Система лінійних рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має рішень.

Система лінійних рівнянь називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення.

Наступні перетворення системи лінійних рівнянь називають елементарними:

) виключення із системи рівняння виду ;

) множення обох частин будь-якого рівняння на
,
;

) додаток до будь-якого рівняння будь-якого іншого рівняння, помноженого на ,.

Дві системи лінійних рівнянь від nневідомих називаються рівносильними, якщо вони не спільні або множини їх рішень збігаються.

Теорема. Якщо одну систему лінійних рівнянь отримано з іншого у вигляді елементарних перетворень типу ), ), ), вона рівносильна вихідної.

Вирішення системи лінійних рівнянь методом виключення невідомих (методом Гауса).

Нехай дана система mлінійних рівнянь з nневідомими:

Якщо система (1) містить рівняння виду

то ця система не є спільною.

Припустимо, що система (1) не містить рівняння виду (2). Нехай у системі (1) коефіцієнт при змінній x 1 у першому рівнянні
(якщо це не так, то перестановкою рівнянь місцями досягнемо того, що , так як не всі коефіцієнти при x 1 дорівнюють нулю). Застосуємо до системи лінійних рівнянь (1) наступний ланцюжок елементарних перетворень:


, Додамо до другого рівняння;

Перше рівняння, помножене на
, Додамо до третього рівняння і так далі;

Перше рівняння, помножене на
додамо до останнього рівняння системи.

В результаті отримаємо систему лінійних рівнянь (надалі використовуватимемо скорочення СЛУ для системи лінійних рівнянь) рівносильну системі (1). Може виявитися, що в отриманій системі жодне рівняння з номером i, i 2, не містить невідомої x 2 . Нехай kтаке найменше натуральне число, що невідома x kміститься хоча б в одному рівнянні з номером i, i 2. Тоді отримана система рівнянь має вигляд:

Система (3) рівносильна системі (1). Застосуємо тепер до підсистеми
системи лінійних рівнянь (3) міркування, які були застосовані до СЛУ (1). І так далі. В результаті цього процесу приходимо до одного із двох результатів.

1. Отримаємо СЛУ, що містить рівняння виду (2). І тут СЛУ (1) несовместна.

2. Елементарні перетворення, застосовані до СЛУ (1), не призводять до системи, яка містить рівняння виду (2). У цьому випадку СЛП (1) елементарними перетвореннями
наводиться до системи рівнянь виду:

(4)

де, 1< k < l < . . .< s,

Система лінійних рівнянь виду (4) називається ступінчастою. Тут можливі такі два випадки.

а) r= nтоді система (4) має вигляд

(5)

Система (5) має єдине рішення. Отже, система (1) має єдине рішення.

Б) r< n. У цьому випадку невідомі
в системі (4) називаються головними невідомими, а решта невідомих у цій системі – вільними (їх число одно n- r). Надамо довільні числові значення вільним невідомим, тоді СЛУ (4) матиме такий самий вигляд, як і система (5). Із неї головні невідомі визначаються однозначно. Таким чином, система має рішення, тобто є спільною. Оскільки вільним невідомим надавали довільні числові значення З, то система (4) є невизначеною. Отже, система (1) є невизначеною. Виразивши в СЛУ (4) головні невідомі через вільні невідомі, отримаємо систему, що називається загальним рішенням системи (1).

приклад. Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса

Випишемо розширену матрицю системи лінійних рівнянь і за допомогою елементарних рядкових перетворень наведемо її до ступінчастої матриці:

~

~
~
~

~ . По отриманій матриці відновимо систему лінійних рівнянь:
Ця система рівносильна вихідній системі. Як головні невідомі візьмемо тоді
вільні невідомі. Висловимо головні невідомі лише через вільні невідомі:

Отримали спільне рішення СЛУ. Нехай тоді

(5, 0, -5, 0, 1) – приватне рішення СЛП.

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайти загальне рішення та одне окреме рішення системи рівнянь методом виключення невідомих:

1)
2)

4)
6)

2. Знайти за різних значень параметра азагальне рішення системи рівнянь:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Векторні простори

Концепція векторного простору. Найпростіші властивості.

Нехай V ≠ Ø, ( F, +,∙) – поле. Елементи поля називатимемо скалярами.

Відображення φ : F× V –> Vназивається операцією множення елементів множини Vна скаляри із поля F. Позначимо φ (λ,а) через λатвір елемента ана скаляр λ .

Визначення.Безліч Vіз заданою алгебраїчною операцією складання елементів множини Vта множення елементів множини Vна скаляри із поля Fназивається векторним простором над полем F, якщо виконуються аксіоми:

приклад. Нехай Fполе, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Кожен елемент множини F nназивається n-мірним арифметичним вектором. Введемо операцію додавання n-мірних векторів та множення n-мірний вектор на скаляр з поля F. Нехай
. Покладемо = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Безліч F n щодо введених операцій є векторним простором, і воно називається n-мірним арифметичним векторним простором над полем F.

Нехай V- Векторний простір над полем F, ,
. Мають місце такі характеристики:

1)
;

3)
;

4)
;

Доказ якості 3.

З рівності за законом скорочення групи ( V,+) маємо
.

Лінійна залежність, незалежність систем векторів.

Нехай V- Векторний простір над полем F,

. Вектор називається лінійною комбінацією системи векторів
. Безліч всіх лінійних комбінацій системи векторів називається лінійною оболонкою цієї системи векторів і позначається.

Визначення.Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі скаляри
не всі рівні нулю, що

Якщо рівність (1) виконується тоді і лише тоді, коли λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, система векторів називається лінійно незалежної.

приклад.Чи з'ясувати чи є система векторів = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) простору R 3 лінійно залежною або незалежною.

Рішення.Нехай λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – рішення системи. Отже, система векторів є лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності системи векторів.

1. Система векторів, що містить хоча б один нульовий вектор, є лінійно залежною.

2. Система векторів, що містить лінійно залежну підсистему, є лінійно залежною.

3. Система векторів, де
є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли хоча б один вектор цієї системи, відмінний від вектора, є лінійною комбінацією попередніх векторів.

4. Якщо система векторів лінійно незалежна, а система векторів
лінійно залежна, то вектор можна у вигляді лінійної комбінації векторів і до того ж єдиним чином.

Доведення.Оскільки система векторів лінійно залежна, то
не всі рівні нулю, що

У векторній рівності (2) λ m+1 ≠ 0. Якщо припустити, що λ m+1 =0, то з (2) => Звідси випливає, що система векторів лінійно залежна, оскільки λ 1 , λ 2 , … , λ mне всі дорівнюють нулю. Прийшли протиріччя з умовою. З (1) => де
.

Нехай вектор можна уявити також у вигляді: Тоді з векторної рівності
через лінійну незалежність системи векторів випливає, що
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Нехай дані дві системи векторів і
, m>k. Якщо кожен вектор системи векторів можна як лінійну комбінацію системи векторів , то система векторів лінійно залежна.

Базис, ранг системи векторів.

Кінцева система векторів простору Vнад полем F позначимо через S.

Визначення.Будь-яка лінійно незалежна підсистема системи векторів Sназивається базисом системи векторів Sякщо будь-який вектор системи Sможна у вигляді лінійної комбінації системи векторів.

приклад.Знайти базис системи векторів = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Система векторів , лінійно незалежна, оскільки, відповідно до властивості 5 система векторів отримана із системи векторів Так якнавчальне посібник основамелектромеханотроніки: навчальнийпосібник основиелектротехніки" ; ...

  • Навчальна література 2000-2008 (1)

    Література

    Математика Лобкова Н.І. Основилінійної алгебрита аналітичної геометрії: навчальнийпосібник/ Н.І.Лобкова, М.В.Лагунова... проектування з основамелектромеханотроніки: навчальнийпосібник/ ПГУПС. Каф. "Теоретичні основиелектротехніки" ; ...