Як відомо, безліч натуральних чисел можна впорядкувати за допомогою відношення "менше". Але правила побудови аксіоматичної теорії вимагають, щоб це ставлення було не лише визначено, а й зроблено це на основі вже визначених у цій теорії понять. Зробити це можна, визначивши відношення "менше" через додавання.
Визначення. Число а менше числа b (а< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
За цих умов говорять також, що число bбільше ата пишуть b > а.
Теорема 12.Для будь-яких натуральних чисел аі bмає місце одне і лише одне із трьох відносин: а = b, а > b, а < b.
Доказ цієї теореми ми опускаємо. З цієї теореми випливає, що якщо
а ¹ b,те чи а< b, або а > b,тобто. відношення «менше» має властивість пов'язаності.
Теорема 13.Якщо а< b і b< с. то а< с.
Доведення. Ця теорема виражає властивість транзитивності відношення «менше».
Так як а< b і b< с. то, за визначенням відношення «менше», знайдуться такі натуральні числа доі що b = а + і с = b + I.Але тоді з = (а + до)+ / і на підставі якості асоціативності складання отримуємо: з = а + (до +/). Оскільки до + I -натуральне число, то, згідно з визначенням «менше», а< с.
Теорема 14. Якщо а< b, то невірно, що b< а. Доведення. Ця теорема виражає властивість антисиметричністьвідносини «менше».
Доведемо спочатку, що для жодного натурального числа ане ви-!>! ■ ) її ставлення а< а.Припустимо неприємне, тобто. що а< а має місце. Тоді, за визначенням відношення «менше», знайдеться таке натуральне число с,що а+ з= а,а це суперечить теоремі 6.
Доведемо тепер, що якщо а< b, то невірно, що b < а.Припустимо неприємне, тобто. що якщо а< b , то b< а виконується. Але з цих рівностей з теореми 12 маємо а< а, що неможливо.
Так як певне нами відношення «менше» антисиметрично і транзитивно і має властивість пов'язаності, воно є ставленням лінійного порядку, а безліч натуральних чисел лінійно впорядкованою безліччю.
З визначення «менше» та його властивостей можна вивести відомі властивості множини натуральних чисел.
Теорема 15.Зі всіх натуральних чисел одиниця є найменшим числом, тобто. I< а для любого натурального числа а¹1.
Доведення. Нехай а -будь-яке натуральне число. Тоді можливі два випадки: а = 1 і а ¹ 1. Якщо а = 1, то існує натуральне число b,за яким слідує а: а = b " = b + I = 1+ b,тобто, за визначенням відносини «менше», 1< а.Отже, будь-яке натуральне дорівнює 1 чи більше 1. Або, одиниця є найменшим натуральним числом.
Відношення «менше» пов'язане зі складанням та множенням чисел властивостями монотонності.
Теорема 16.
а = b => а + с = b + с та а с = b с;
а< b =>а + с< b + с и ас < bс;
а > b => а + с > b + с та ас > bс.
Доведення. 1) Справедливість цього твердження випливає з єдиності складання та множення.
2) Якщо а< b,
то існує таке натуральне число k,що а
+ k = b.
Тоді b+ с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с+ к)= (а+с)+к.Рівність b+ с = (а + с) + доозначає, що а + с< b
+ с.
Так само доводиться, що а< b =>ас< bс.
3) Доводиться аналогічно.
Теорема 17(Зворотна теоремі 16).
1) а+ с = Ь + сабо ас ~ Ьс-Þ а = Ь
2) а + с< Ь + с або ас< ЬсÞ а< Ь:
3) а + с > Ь+ з або ас > ЬсÞ а > Ь.
Доведення. Доведемо, наприклад, що з ас< bс слід а< b Припустимо неприємне, тобто. що висновок теореми не виконується. Тоді не може бути, що а = b.тому що тоді б виконувалася рівність ас = bс(Теорема 16); не може бути і а> b,бо тоді б ас > bс(Теорема!6). Тому, відповідно до теореми 12, а< b.
З теорем 16 і 17 можна вивести відомі правила почленного додавання та множення нерівностей. Ми їх опускаємо.
Теорема 18. Для будь-яких натуральних чисел аі b; існує таке натуральне число n, що п а.
Доведення. Для будь-кого азнайдеться таке число п, що п > а.Для цього достатньо взяти п = а + 1. Перемножуючи почленно нерівності п> аі b> 1, отримуємо пb > а.
З розглянутих властивостей відносини «менше» випливають важливі особливості множини натуральних чисел, які ми наводимо без доказу.
1. Ні для одного натурального числа ане існує такого натурального числа п,що а< п < а +
1. Ця властивість називається властивістю
дискретностібезлічі натуральних чисел, а числа аі а + 1 називають сусідніми.
2.
Будь-яке непусте підмножина натуральних чисел містить
найменше число.
3. Якщо М- Непорожня підмножина безлічі натуральних чисел
і існує таке число b,що для всіх чисел х з Мвиконується не
рівність х< b,то в безлічі Мє найбільша кількість.
Проілюструємо властивості 2 та 3 на прикладі. Нехай М- безліч двоцифрових чисел. Так як Мє підмножина натуральних чисел і для всіх чисел цієї множини виконується нерівність х< 100, то в множестве Мє найбільше число 99. Найменше число, що міститься в даній множині М, -Число 10.
Таким чином, відношення «менше» дозволило розглянути (і в ряді випадків довести) значну кількість властивостей множини натуральних чисел. Зокрема, воно є лінійно впорядкованим, дискретним, у ньому є найменше 1.
Зі ставленням «менше» («більше») для натуральних чисел молодші школярі знайомляться на самому початку навчання. І часто, поряд з його теоретико-множинним трактуванням, неявно використовується визначення, дане нами в рамках аксіоматичної теорії. Наприклад, учні можуть пояснити, що 9 > 7, оскільки 9 - це 7+2. Нерідко і неявне використання властивостей монотонності складання та множення. Наприклад, діти пояснюють, що «6+2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Вправи
1, Чому безліч натуральних чисел не можна впорядкувати за допомогою відносини «безпосередньо слідувати за»?
Сформулюйте визначення відносин а > bі доведіть, що воно транзитивне та антисиметричне.
3. Доведіть, що якщо а, b, с- натуральні числа, то:
а) а< b Þ ас < bс;
б) а+ з< b + сÞ> а< Ь.
4. Які теореми про монотонність додавання та множення можуть
використовувати молодші школярі, виконуючи завдання «Порівняй, не виконуючи обчислень»:
а) 27+8...27+18;
б) 27-8...27-18.
5. Які властивості множини натуральних чисел неявно використовують молодші школярі, виконуючи такі завдання:
А) Запиши числа, які більші, ніж 65, і менші, ніж 75.
Б) Назви попереднє та наступне числа по відношенню до числа 300 (800,609,999).
В) Назви найменше та найбільше тризначне число.
Віднімання
При аксіоматичному побудові теорії натуральних чисел віднімання зазвичай визначається як операція, зворотна до складання.
Визначення. Відніманням натуральних чисел а і b називається операція, що задовольняє умові: а - b = з тоді і тільки тоді, коли b + с = а.
Число а - bназивається різницею чисел а і b,число а- зменшуваним, а число b -віднімається.
Теорема 19.Різниця натуральних чисел а- bіснує тоді і лише тоді, коли b< а.
Доведення. Нехай різниця а- bІснує. Тоді, за визначенням різниці, знайдеться таке натуральне число с,що b + с = а,а це означає, що b< а.
Якщо ж b< а, то, за визначенням відношення «менше», існує таке натуральне число, що b + с = а.Тоді, за визначенням різниці, с = а - b,тобто. різниця а - bІснує.
Теорема 20. Якщо різниця натуральних чисел аі bіснує, вона єдина.
Доведення. Припустимо, що існує два різні значення різниці чисел аі b;: а - b= с₁і а - b= с₂, причому с₁ ¹ с₂ .Тоді за визначенням різниці, маємо: а = b + с₁,і а = b + с₂ : .Звідси слідує що b+ з ₁ = b + с₂ :і на підставі теореми 17 укладаємо, с₁ = с₂.Прийшли до протиріччя з припущенням, отже, воно неправильне, а вірна ця теорема.
Виходячи з визначення різниці натуральних чисел та умови її існування, можна обґрунтувати відомі правила віднімання числа із суми та суми з числа.
Теорема 21. Нехай а. bі з- натуральні числа.
а якщо а > с, то (а + b) – с = (a – с) + b.
б) Якщо b > с. то (а + b) – з – а + (b – с).
в) Якщо а > c та b > с.то можна використовувати будь-яку з даних формул.
Доведення. У разі а) різниця чисел аі cіснує, оскільки а > с.Позначимо її через х: а – с = х.звідки а = с + х. Якщо (а+ b) – с = у.то, за визначенням різниці, а+ b = з+ у. Підставимо в цю рівність замість авираз з + х:(з + х) + b = с + у.Скористаємося властивістю асоціативності додавання: с + (х + b) = с+ у. Перетворимо цю рівність на основі властивості монотонності додавання, отримаємо:
х + b = у.. Замінивши в даній рівності х на вираз а - с,будемо мати (а -г) + b = у.Таким чином, ми довели, що якщо а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b
Аналогічно проводиться доказ у разі б).
Доведену теорему можна сформулювати у вигляді правила, зручного для запам'ятовування: для того, щоб відняти число із суми, достатньо відняти це число з одного складового суми і до отриманого результату додати інше доданок.
Теорема 22.Нехай а, b і с -натуральні числа. Якщо а > b+ с, то а- (b + с) = (а - b) - сабо а – (b + с) = (а – c) – b.
Доказ цієї теорії аналогічний доказу теореми 21.
Теорему 22 можна сформулювати у вигляді правила, для того щоб відняти з числа суму чисел, достатньо відняти від цього числа послідовно кожне доданок одне за одним.
У початковому навчанні математики визначення віднімання як дії, зворотного додавання, у загальному вигляді, зазвичай, не дається, але ним постійно користуються, починаючи з виконання дій над однозначними числами. Учні повинні добре розуміти, що віднімання пов'язане зі складанням, і використовувати цей взаємозв'язок при обчисленнях. Віднімаючи, наприклад, із числа 40 число 16, учні міркують так: «Відняти з 40 число 16 - що означає знайти таке число, при складанні якого з числом 16 виходить 40; таким числом буде 24, тому що 24 + 16 = 40. Значить. 40 – 16 = 24».
Правила віднімання числа із суми та суми з числа в початковому курсіматематики є теоретичною основою різних прийомів обчислень. Наприклад, значення виразу (40 + 16) - 10 можна знайти, не тільки обчисливши суму в дужках, а потім відняти з неї число 10, але і таким чином;
а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
Вправи
1. Чи правильно, що кожне натуральне число виходить із безпосередньо наступного відніманням одиниці?
2. У чому особливість логічної структури теореми 19? Чи можна її сформулювати, використовуючи слова «необхідне та достатньо»?
3. Доведіть, що:
а якщо b > с,то (а + b) – с = а + (b – с);
б) якщо а > b + с, то а - (b+ с) = (а – b) – с.
4. Чи можна, не виконуючи обчислень, сказати, значення яких виразів дорівнюватимуть:
а) (50 + 16) - 14; г) 50+ (16 -14 ),
б) (50 – 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 – 14) – 16, е) (50 + 14) – 16.
а) 50 – (16 + 14); г) (50 – 14) + 16;
б) (50 – 16) + 14; д) (50 – 14) – 16;
в) (50 – 16) – 14; е) 50 - 16-14.
5. Які властивості віднімання є теоретичною основою наступних прийомів обчислення, що вивчаються у початковому курсі математики:
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 = 16-6 - П;
в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;
г) 48 – 3 = (40 + 8) – 3 = 40 + 5 = 45.
6. Опишіть можливі методи обчислення значення виразу виду. а - b- зта проілюструйте їх на конкретних прикладах.
7. Доведіть, що за b< а і будь-яких натуральних c вірна рівність (a - b) с = ас - bс.
Вказівка. Доказ ґрунтується на аксіомі 4.
8. Визначте значення виразу, не виконуючи письмових обчислень. Відповіді обґрунтуйте.
а) 7865 × 6 - 7865 × 5: б) 957 × 11 - 957; в) 12×36 – 7×36.
Поділ
При аксіоматичному побудові теорії натуральних чисел розподіл зазвичай визначається як операція, обернена до множення.
Визначення. Поділом натуральних чисел а і b називається операція, що задовольняє умові: а: b = з тоді і тільки тоді,до коли b× з = а.
Число а:bназивається приватнимчисел аі b,число аділимим, число b- дільником.
Як відомо, розподіл на безлічі натуральних чисел існує не завжди, і такої зручної ознаки існування приватної, яка існує для різниці, немає. Є лише необхідна умова існування приватного.
Теорема 23.Для того, щоб існувало приватне двох натуральних чисел аі bнеобхідно, щоб b< а.
Доведення. Нехай приватне натуральних чисел аі bіснує, тобто. є таке натуральне число c, що bс = а.Оскільки для будь-якого натурального числа 1 справедлива нерівність 1 £ с,то, помноживши обидві його частини на натуральне число b, отримаємо b£ bс.Але bс = а,отже, b£ а.
Теорема 24.Якщо приватне натуральних чисел аі bіснує, воно єдине.
Доказ цієї теореми аналогічний доказу теореми про єдиність різниці натуральних чисел.
Виходячи з визначення частки натуральних чисел та умов його існування, можна обґрунтувати відомі правила поділу суми (різниці, твори) на число.
Теорема 25.Якщо числа аі bділяться на число с,то та їх сума а + bділиться на с, причому приватне, що отримується при розподілі суми а+ bна число с,одно сумі приватних, одержуваних при розподілі ана зі bна з, тобто. (а + b):с = а: с + b:с.
Доведення. Оскільки число аділиться на с,то існує таке натуральне число х = а;з, що а = сх.Аналогічно існує таке натуральне число у = b:с,що
b= су.Але тоді а + b = сх+ су = - з (х + у).Це означає що а + bділиться на c, причому приватне, що отримується при розподілі суми а+ bна число c, що дорівнює х + у,тобто. ах + b: с.
Доведену теорему можна сформулювати у вигляді правила поділу суми на число: для того щоб розділити суму на число, достатньо розділити на це число кожне доданок і отримані результати скласти.
Теорема 26.Якщо натуральні числа аі bділяться на число зі а > b,то різниця а - bділиться на c, причому приватне, одержуване при розподілі різниці на число c, дорівнює різниці приватних, одержуваних при розподілі ана зі bна c, тобто. (а - b): с = а: с - b: с.
Доказ цієї теореми проводиться аналогічно доказу попередньої теореми.
Цю теорему можна сформулювати як правила поділу різниці на число: длятого, щоб розділити різницю на число, достатньо розділити на це число зменшуване і віднімається і від першого відняти частину друге.
Теорема 27.Якщо натуральне число аділиться на натуральне число с, то для будь-якого натурального числа bтвір, добуток аbділиться на с. При цьому приватне, що отримується при розподілі твору аbна число з , одно добутку приватного, одержуваного при розподілі ана с,і числа b: (а × b): с - (а: с) × b.
Доведення. Так як аділиться на с,то існує таке натуральне число х, що а:с= х, звідки а = сх.Помноживши обидві частини рівності на b,отримаємо аb = (сх) b.Оскільки множення асоціативно, то (сх) b = с(х b).Звідси (а b): с = х b = (а: с) b.Теорему можна сформулювати як правила поділу твору на число: щоб розділити твір на число, досить розділити цього число один із множників і отриманий результат помножити другого множник.
У початковому навчанні математики визначення поділу як операції зворотній множенню, у загальному вигляді, зазвичай, не дається, але ним постійно користуються, починаючи з перших уроків ознайомлення з поділом. Учні повинні добре розуміти, що поділ пов'язаний з множенням і використовувати цей взаємозв'язок при обчисленнях. Виконуючи розподіл, наприклад, 48 на 16, учні міркують так: «Розділити 48 на 16 - це означає знайти таке число, при множенні якого на 16 вийде 48; таким числом буде 3, оскільки 16×3 = 48. Отже, 48: 16 = 3.
Вправи
1. Доведіть, що:
а) якщо частка натуральних чисел а та bіснує, то воно єдине;
б) якщо числа а та bподіляються на зі а > b,то (а – b): с = а: с – b: с.
2. Чи можна стверджувати, що всі дані рівності вірні:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;
в) 850: 170 = 850: 10:17.
Яке правило є узагальнення даних випадків? Сформулюйте його та доведіть.
3. Які властивості поділу є теоретичною основою для
виконання наступних завдань, пропонованих школярам початкових класів:
чи можна, не виконуючи поділу, сказати, значення яких виразів будуть однаковими:
а) (40 + 8): 2; в) 48:3; д) (20 + 28): 2;
б) (30 + 16): 3; г) (21 +27): 3; е) 48:2;
Чи вірні рівності:
а) 48:6:2 = 48: (6:2); б) 96:4:2 = 96: (4-2);
в) (40 – 28): 4 = 10-7?
4. Опишіть можливі способи обчислення значення виразу
виду:
а) (а+ b):с;б) а:b: с; в) ( а × b): з .
Запропоновані методи проілюструйте на конкретних прикладах.
5. Знайдіть значення вираження раціональним способом; свої
дії обґрунтуйте:
а) (7 × 63): 7; в) (15 × 18):(5× 6);
б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.
6. Обґрунтуйте наступні прийоми поділу на двозначне число:
а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
г) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560×2 = 1120.
7. Не виконуючи поділу куточком, знайдіть найбільш раціональний
способом приватне; вибраний спосіб обґрунтуйте:
а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;
6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.
Лекція 34. Властивості множини цілих невід'ємних чисел
1. Безліч цілих невід'ємних чисел. Властивості множини цілих невід'ємних чисел.
2. Поняття відрізка натурального ряду чисел та рахунки елементів кінцевої множини. Порядкові та кількісні натуральні числа.
Натуральне число - це число, яке використовується за рахунку предметів. Воно виникло з практичних потреб людини. Розвиток поняття натурального числа можна розділити на кілька етапів: 1. давні люди, щоб порівнювати безліч, встановлювали відповідності: наприклад, стільки ж, скільки пальця на руці. Недолік - порівнювані множини повинні були бути одночасно доступні для огляду. 2. Безліч - посередники, наприклад, каміння, черепашки, палички. Поняття про кількість ще складено. І числа прив'язані до конкретних предметів. 3. Поява числа (позначення числа у вигляді цифр). Зародження математики. Арифметика як наука зародилася у країнах Стародавнього Сходу - Китай, Індія, Єгипет, подальший розвитокв Греції. Термін "натуральне число" вперше вжив римський учений Боецій. Рахунок необхідний визначення кількості множини. Розіб'ємо всі кількісні множини на класи еквівалентності, наприклад, в один клас екв. увійдуть безліч вершин трикутників, сторін квадрата, безліч літер у слові світ. Якщо продовжити цей процес, то через те, що щодо еквівалентності - все рівносильне ставлення. Кінцеві множини виявляться за класами. Т.о. теоретико - множинний зміст кількісного натурального числа - є загальна властивістькласу кінцевих рівносильних множин. Кожному класу відповідає своє кількісне число. Нуль ставиться відповідно до порожньої множини.
Числа А і В називаються рівними, якщо вони визначаються рівносильними множинами.
Такий спосіб застосовується у початкових класах.
Методика роботи над завданнями, що розкривають конкретне значення арифметичних дій.
Арифметичні завдання у курсі математики займають значне місце. Майже половина часу під час уроків математики відводиться вирішенню завдань. Це їх великий виховної і освітньої роллю, що вони грають під час навчання дітей. Вирішення арифметичних завдань допомагає розкрити основний зміст арифметичних дій, конкретизувати їх, пов'язати з певною життєвою ситуацією. Завдання сприяють засвоєнню математичних понять, відносин, закономірностей. При вирішенні завдань у дітей розвивається довільна увага, спостережливість, логічне мислення, мова, кмітливість. Вирішення завдань сприяє розвитку таких процесів пізнавальної діяльності, як аналіз, синтез, порівняння, узагальнення
У процесі вирішення арифметичних завдань учні навчаються, планувати та контролювати свою діяльність, опановувати прийоми, самоконтролю (перевірка задачі, прикидка завдань тощо) у них виховується наполегливість, воля, розвивається інтерес до пошуку розв'язання задачі. Велика роль вирішення завдань у підготовці дітей до життя, до їхньої подальшої трудової діяльності. При вирішенні сюжетних завдань учні вчаться перекладати відносини між предметами та величинами на «мову математики». У арифметичних завданнях використовується числовий матеріал, який відбиває успіхи країни у різних галузях народного господарства, культури, науки тощо. Це сприяє розширенню кругозору учнів, збагаченню їх новими знаннями про навколишню дійсність. Умінням вирішувати арифметичні завдання учні опановують з великими труднощами.
Причини помилкових розв'язків задач дітьми криються насамперед у особливостях їх мислення. У процесі навчання розв'язанню задач слід уникати натягування у вирішенні завдань певного виду, треба вчити свідомому підходу до розв'язання задач, вчити орієнтуватися у певній життєвій ситуації, описаній у задачі, вивчати усвідомлене виділення даних завдання, усвідомлений вибір дій. У процесі роботи над будь-якою арифметичною задачею можна виділити такі етапи:
1. Робота над змістом завдання.
2. Пошук розв'язання задачі.
3. Розв'язання задачі.
4. Формулювання відповіді.
5. Перевірка розв'язання задачі.
6. Подальша робота над вирішеним завданням.
Значну увагу слід приділяти роботі над змістом завдання, тобто. над осмисленням ситуації викладеної в задачі, встановленням залежності між даними та шуканим. Послідовність роботи над засвоєнням змісту завдання;
а) розбір незрозумілих слів чи виразів;
б) читання тексту завдання учителем та учням;
в) запис умови завдання;
г) повторення завдання з питань.
Виразному читанню тексту завдання слід вивчати учнів. Потрібно пам'ятати, що дітей спеціально треба вчити промовистого читання, вони не можуть самостійно правильно прочитати завдання, не можуть розставити логічні наголоси і т.д.
Поряд з конкретизацією змісту завдання за допомогою предметів, трафаретів та малюнків у практиці роботи вчителів у школах широкого поширення набули такі форми запису змісту задачі:
1. Скорочена форма запису, при якій з тексту завдання виписують числові дані і тільки ті слова і вирази, які необхідні для розуміння логічного сенсу задачі.
2. Скорочено-структурна форма запису, коли кожна логічна частина завдання записується з нового рядка.
3. Схематична форма запису.
4. Графічна форма запису.
Оскільки функція контролю в дітей віком ослаблена, то перевірка розв'язання завдання має як освітнє, а й виховне значення. У молодших класах необхідно:
1. Перевірити словесно сформульовані завдання, роблячи дію над предметами.
2. Перевіряти реальність відповіді.
3. Перевіряти відповідність відповіді умові та питанню завдання. Перевірка розв'язання задачі іншим способам її вирішення можлива з 4 класу.
Для контролю правильності розв'язання задачі використовують і деякі елементи програмованого навчання. Цей елемент дуже корисний тим, що учень одразу отримує підкріплення правильності чи навпаки помилковості своїх дій. За помилковості рішення він шукає нові шляхи рішення.
Вчитель у школі найчастіше може бути впевненим, що розв'язання завдання зрозуміло усіма учнями. Тому дуже корисно провести роботу із закріплення вирішення цього завдання. Робота із закріплення розв'язання задачі може бути проведена різними прийомами.
1. Ставляться вузлові питання щодо змісту завдання.
2. Пропонується розповісти весь хід розв'язання задачі з обґрунтуванням вибору дій.
3. Ставляться питання до окремих дій чи питань. Для учнів важлива кількість вирішених аналогічних завдань, а розуміння предметної ситуації залежно між даними. Цій меті і служить подальша робота над вирішеним завданням, яку можна розглядати як важливий прийом формує навички розв'язання задач даного виду. Кращему розумінню предметного змісту завдань, залежності між даними і шуканими сприяє вирішення завдань із зайвими чи відсутніми числовими даними, записаними не числами, а словами. Спостереження показують, що кращі вчителі широко використовують як один із прийомів навчання розв'язання задач складання завдань самими учнями.
Упорядкування завдань допомагає дітям краще усвідомити життєво-практичну значимість завдання, глибше зрозуміти її структуру, і навіть розрізняти завдання різних видівусвідомити прийоми їх вирішення Упорядкування завдань проводиться паралельно з рішенням готових завдань. Досвід та спостереження показують, що найлегше для учнів часткове складання завдань. Слід стимулювати складання учнями завдань із різноманітними фабулами. Це сприяє розвитку їхньої уяви кмітливості, ініціативи. Дуже корисно, коли для складання завдань учні залучають матеріал, що «добувається» ними під час екскурсій, з довідників, газет, журналів тощо. Учнів старших класів необхідно навчати заповнювати та писати ділові документи, пов'язані з тими чи іншими розрахунками. Наприклад, написати довіреність, заповнити бланк на грошовий переказі т.д. Всі вищезазначені прийоми можуть бути широко використані при вирішенні всіх видів завдань.
Простий арифметичною задачею називається завдання, яке вирішується однією арифметичною дією. Прості завдання відіграють надзвичайну роль під час навчання учнів математики. Саме прості завдання дозволяють розкрити основний зміст та конкретизувати арифметичні дії, сформувати ті чи інші математичні поняття. Прості завдання є складовою складних завдань, отже, формуючи вміння вирішувати їх, вчитель готує учнів до розв'язання складних завдань.
На кожному навчальному році навчання учні знайомляться з новими видами простих завдань. Поступове введення їх пояснюється різним ступенем проблеми математичних понять, місцем вивчення тих арифметичних процесів, конкретний зміст яких вони розкривають. Не менш пильної уваги вчителя при виборі завдань цього виду заслуговує і конкретизація та зміст. Нарешті вчитель вчить конкретизувати зміст завдання, розкриваючи залежність між даними та шуканими за допомогою різних форм короткого запису.
Досвід роботи найкращих вчителів показує, що підготовку до вирішення арифметичних завдань слід починати зі збагачення та розвитку практичного досвіду учнів, орієнтування їх у навколишній дійсності. Учнів потрібно вести в ту життєву ситуацію, в якій доводиться рахувати, вирішувати арифметичні завдання, робити зміни. Причому ці ситуації не слід спочатку створювати штучно, ними лише слід звернути і звертати увагу учнів. Вчитель організує спостереження за зміною кількості елементів предметних множин вмісту судин тощо. буд., що сприяє розвитку уявлень учнів про кількість до знайомства їх із певною термінологією, яка згодом зустрінеться при словесної формулюванні завдань: стало, всього залишилося, взяли, збільшилося, зменшилося і і т.д. Потрібно організувати так ігрову та практичну діяльність учнів, щоб, будучи безпосередніми учасниками цієї діяльності, а також спостерігаючи, учні самі могли робити висновок у кожному окремому випадку; збільшилося або зменшилося число елементів множини і якою операцією та словесним виразом відповідає це збільшення або зменшення. Цей етап підготовчої роботи збігається з початком роботи над числами першого десятка та знайомства з арифметичними діями, з рішенням та складанням прикладів операцій із предметними множинами.
Перш ніж розпочати навчання вирішення арифметичних завдань, вчитель повинен ясно собі уявити, які знання, вміння та навички потрібно дати учням. Щоб розв'язати завдання, учні повинні вирішувати арифметичні приклади, слухати, а потім читати завдання, повторювати завдання з питань, за коротким записом, по пам'яті, виділяти в задачі складові компоненти, вирішувати задачу та перевіряти її правильність розв'язання. У 1 класі учні вчаться вирішувати завдання на перебування суми та залишку. Ці завдання вводяться вперше під час навчання чисел першого десятка. При навчанні розв'язання завдань перебування суми однакових доданків, на розподіл рівні частини чи розподіл за змістом, слід спиратися на розуміння учнями сутності арифметичних процесів множення і поділу. До розв'язання завдання різне порівняння учнями необхідно дати поняття порівняння предметів однієї сукупності, двох предметних сукупностей, величин, чисел, встановлюючи з-поміж них відносини рівності і нерівності. Складовим або складним арифметичним завданням називається завдання, яке вирішується двома або більшим числом арифметичних дій. Психологічні дослідженняз вивчення особливостей вирішення складових арифметичних завдань показують, що діти не впізнають знайомих простих завдань у контексті нового складового завдання. Підготовча робота до вирішення складових завдань повинна бути системою вправ, прийомів, цілеспрямовано провідних учнів до оволодіння рішенням складових завдань. До вирішення складових завдань вчитель може переходити тоді, коли переконається, що учні оволоділи прийомами розв'язання простих завдань, які увійдуть до складового завдання, самі можуть скласти просте завдання певного виду. При розв'язанні складових завдань учні повинні або до даних ставити запитання або питання добирати дані. Тож у підготовчий період, тобто. протягом усього першого року та на початку другого року навчання, слід пропонувати учням завдання:
1. До готової умови підібрати питання.
2. З питання скласти завдання, підібравши відсутні числові дані.
Складаючи прості і складові завдання, учні поступово навчаться дізнаватися в складовій задачі прості, що вже були в досвіді їх вирішення, дуже корисні вправи на складання складних завдань. Це сприятиме кращому засвоєнню видів простих завдань, уміння їх впізнавати вичленувати у складовій задачі, допоможе учням свідоміше здійснювати аналіз завдань. При вирішенні складових завдань учнів слід навчити загальних прийомів роботи з завданням; вмінню аналізувати зміст завдання, виділяючи відомі дані, шукане (тобто встановлюючи, що потрібно дізнатися в задачі), визначте, яких даних не вистачає для відповіді на головне питання в задачі. У практиці роботи школи виправдав себе прийом роботи з картками, завданнями в яких викладається послідовність роботи над завданням. При вирішенні завдань оформлення її вирішення записується з питаннями або записується кожна дія і пояснюється. Вироблення узагальненого способу розв'язання задач даного виду забезпечується багаторазовим розв'язанням задач з різноманітними видами, фабулами, рішенням готових і складених самими учнями задач, порівнянням задач даного виду з видами завдань, що раніше вирішувалися, і т.д.
1. Поясніть обчислювальний прийом для випадків 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3 усі обчислювальні прийоми з концентру сотня.
1) 40+20= 4д+2д=6д=60
2) 50-30 = 5д-3д = 2д = 20
3) 34+20= 3д+4од+2д=5д 4ед=54
4) 34+2 = 3д +4од +2од = 3д 6од = 36
5) 48-30 = 4д + 8од-3д = 1д 8ед = 18
6) 48-3= 4д+8од-3ед=4д 5ед=45
Усі прийоми обчислення усні та виконуються на основі за розрядами складання та віднімання.
Відрізком N натурального ряду називається безліч натуральних чисел, що не перевершують натурального числа а, тобто N = (х | х N і х а).
Наприклад, N це безліч натуральних чисел, що не перевищують 7, тобто. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Відзначимо дві найважливіші властивості відрізків натурального ряду:
1) Будь-який відрізок N містить одиницю. Ця властивість випливає із визначення відрізка натурального ряду.
2) Якщо число х міститься у відрізку N і х а, то наступне за ними число х+1 також міститься в N .
Безліч А називається кінцевим, якщо воно рівномірне деякому відрізку N натурального ряду. Наприклад, безліч А вершин трикутника, безліч В букв у слові «світ» кінцеві множини, т.к. вони рівносильні відрізку N = (1,2,3), тобто. А~B~ N .
Якщо непуста кінцева множина А рівнопотужна відрізку N , то натуральне число а називають числом елементів множини А і пишуть n(A) = a. Наприклад, якщо А – множина вершин трикутника, то n(A) = 3.
Будь-яке непусте кінцеве безліч рівносильно одному і лише одному відрізку натурального ряду, тобто. кожній кінцевій множині А може бути поставлене у відповідність однозначно певне число а, таке, що безліч А взаємно однозначно відображається на відрізок N .
Встановлення взаємно-однозначної відповідності між елементами непустої кінцевої множини А і відрізком натурального ряду називається рахунком елементів множини А. Оскільки будь-якій непустій кінцевій множині відповідає тільки одне натуральне число, то вся сукупність кінцевих множин розбивається на класи рівносильних множин. В одному класі будуть утримуватися всі одноелементні множини, в іншому – двоелементні і т.д. І це число можна розглядати як загальну властивість класу кінцевих рівносильних множин. Таким чином, з теоретико-множинної точки зору, натуральне число - це загальна властивість класу кінцевих множин.
Число 0 теж має теоретико-множинне тлумачення – воно ставиться у відповідність до порожньої множини: n() = 0.
Отже, натуральне число як характеристику кількості можна розглядати з двох позицій:
1) як число елементів у множині А, одержуване за рахунку;
2) як загальна властивість класу кінцевих рівносильних множин.
Встановлений зв'язок між кінцевими множинами та натуральними числами дозволяє дати теоретико-множинне тлумачення відношення «менше».
Якщо а = n(А), b = n(B), то число а менше числа b тоді й тільки тоді, коли множина А рівносильна власному підмножині множини, тобто. А~В, де В, В, В (рис.1) . Або коли відрізок натурального ряду N є власним підмножиною відрізка N, тобто. N N .
Числа а і b рівні, якщо вони визначаються рівносильними множинами: а = k А~B де n(A) = a, n (B) = k. Наприклад, 2 = 2, т.к. n(А) = 2, n(B) = 2, А = (a, b), B = (z, x), A~B.
Властивості відношення «менше» для натуральних чисел також набувають теоретико-множинного тлумачення: транзитивність та антисиметричність цього відношення пов'язані з тим, що транзитивне та антисиметричне відношення «бути підмножиною».
Покажемо, використовуючи теоретико-множинне трактування відношення «менше» для натуральних чисел, що 2
Візьмемо множину А, що містить 2 елементи та множину В, що містить 5 елементів, тобто. n(А) = 2, n(B) = 5. Наприклад, А = (a, b), B = (c, d, e, f, r). З множини B можна виділити підмножина, рівномірне множині А: наприклад В = (c, d) і А ~ В. Відповідно до визначення відносини «менше», 2
Справедливість цієї нерівності випливає і з того, що N
Цю нерівність можна розглянути малюнку 2. Нехай 2 – це число гуртків, а 5 – число квадратів. Якщо накласти кружки на квадрати, то побачимо, що частина квадратів залишилася незачиненою.
Отже, кількість гуртків менше кількості квадратів, тобто. 2
Теоретико-множинний сенс нерівності 0
Порівняння чисел у початковому курсі математики здійснюється у різний спосіб– воно ґрунтується на всіх розглянутих нами підходах до трактування відношення «менше».
До державного іспиту зі спеціальності
1. Лінійний (векторний) простір над полем. приклади. Підпростори, найпростіші властивості. Лінійна залежність та незалежність векторів.
2. Базис та розмірність векторного простору. Матриця координат системи векторів. Перехід від одного базису до іншого. Ізоморфізм векторні простори.
3. Алгебраїчна замкнутість поля комплексних чисел.
4. Кільце цілих чисел. Упорядкованість цілих чисел. Теореми про «найбільше» і «найменше» ціле число.
5. Група, приклади груп. Найпростіші властивості груп. Підгрупи. Гомоморфізм та ізоморфізм груп.
6. Основні властивості подільності цілих чисел. Прості числа. Нескінченність безлічі простих чисел. Канонічне розкладання складового числа та його единственность.
7. Теорема Кронекера-Капеллі (критерій спільності системи лінійних рівнянь).
8. Основні характеристики порівнянь. Повна та наведена системи відрахувань по модулю. Кільце класів відрахувань за модулем. Теореми Ейлера та Ферма.
9. Додаток теорії порівнянь до висновку ознак подільності. Звернення звичайного дробу до десяткового та визначення довжини його періоду.
10. Сполученість уявного коріння многочлена з дійсними коефіцієнтами. Ненаведені над полем дійсних чисел багаточлени.
11. Лінійні порівняння з однією змінною (критерій розв'язності, способи розв'язання).
12. Рівносильні системилінійних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих.
13. Кільце. Приклади кілець. Найпростіші властивості кілець. Підкільце. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець. Поле. Приклад полів. Найпростіші властивості. Мінімальність поля раціональних чисел.
14. Натуральні числа (основи аксіоматичної теорії натуральних чисел). Теореми про «найбільше» і «найменше» натуральне число.
15. Багаточлени над полем. Теорема про поділ із залишком. Найбільший спільний дільник двох багаточленів, його властивості та способи знаходження.
16. Бінарні відносини. Відношення еквівалентності. Класи еквівалентності, фактормножина.
17. Математична індукція для натуральних та цілих чисел.
18. Властивості взаємно простих чисел. Найменше загальне кратне цілих чисел, його властивості та способи знаходження.
19. Поле комплексних чисел, числові поля. Геометричне уявлення та тригонометрична форма комплексного числа.
20. Теорема про поділ із залишком для цілих чисел. Найбільший спільний дільник цілих чисел, його властивості та способи знаходження.
21. Лінійні оператори векторного простору. Ядро та образ лінійного оператора. Алгебра лінійних операторів векторний простір. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.
22. Афінні перетворення площини, їх властивості та способи завдання. Група афінних перетворень площини та її підгрупи.
23. Багатокутники. Площа багатокутника. Теорема існування та єдиності.
24. Рівновеликість та рівноскладеність багатокутників.
25. Геометрія Лобачевського. Несуперечність системи аксіом геометрії Лобачевського.
26. Поняття паралельності у геометрії Лобачевського. Взаємне розташуванняпрямі на площині Лобачевського.
27. Формули рухів. Класифікація рухів площини. Додатки до розв'язання задач.
28. Взаємне розташування двох площин, прямої та площини, двох прямих у просторі (в аналітичному викладі).
29. Проективні перетворення. Теорема існування та єдиності. Формули проективних перетворень.
30. Скалярне, векторне та змішане творивекторів, їх додаток до розв'язання задач.
31. Система аксіом Вейля тривимірного евклідового простору та її змістовна несуперечність.
32. Рухи площини та його властивості. Група рухів площині. Теорема існування та єдиності руху.
33. Проективна площина та її моделі. Проективні перетворення, властивості. Група проектних перетворень.
34. Перетворення подібності до площини, їх властивості. Група перетворень подібності до площини та її підгрупи.
35. Гладкі поверхні. Перша квадратична форма поверхні та її застосування.
36. Паралельне проектування та його властивості. Зображення плоских та просторових фігур у паралельній проекції.
37. Гладкі лінії. Кривизна просторової кривої та її обчислення.
38. Еліпс, гіпербола та парабола як конічні перерізи. Канонічні рівняння.
39. Директоріальна властивість еліпса, гіперболи та параболи. Полярні рівняння.
40. Подвійне відношення чотирьох точок прямої, його властивості та обчислення. Гармонійний розділ пар точок. Повний чотирикутник та його властивості. Додаток до розв'язання задач на побудову.
41. Теореми Паскаля та Бріаншона. Полюси та поляри.
Зразкові питання з математичного аналізу
Теореми про "найбільше" і "найменше" ціле число
Теорема 4 (про ”найменше” ціле число). Будь-яке непусте, обмежене знизу безліч цілих чисел містить найменше число. (Тут, як і у випадку натуральних чисел, слово "множина" використовується замість слова "підмножина" Е
Доведення. Нехай О А З і А обмежено знизу, тобто. 36 ? ZVa? А(Ь)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Нехай тепер ЬА.
Тоді Уа е Аф< а) и, значит, Уа А(а - Ь >О).
Утворимо безліч М всіх чисел виду а - Ь, де пробігає безліч А, тобто. М = (з [ с = а - Ь, а Е А)
Очевидно, що безліч М не пуста, оскільки А 74 0
Як зазначено вище, М С N . Отже, за теоременом у р а ль н о м ч і с л е (54, гл.Ш) у множині М існує найменше натуральне число т. Тоді т = а1 - Ь для деякого числа а1 ? А, і оскільки т найменше в М, то Уа? А(т< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Теорема 5 (про "найбільшому" цілому числі). Будь-яке непусте, обмежене зверху безліч цілих чисел містить найбільше число.
Доведення. Нехай О 74 АС Z і А обмежена зверху числом Ь, тобто. ? ZVa е А(а< Ь). Тогда -а >Ь для всіх чисел а? А.
Отже, множина М (з г = -а, а? А) не порожня і обмежена знизу числом (-6). Звідси по попередній теоремі у множині М сиціє найменше число, тобто. ас? МУС? М (з< с).
Це означає, що Уа? А(с< -а), откуда Уа? А(-с >а)
З. Різні формиметоду математичної індукції цілих чисел. Теорема про поділ із залишком
Теорема 1 (перша форма методу математичної індукції). Нехай Р(с) - одномісний преДікат, визначений на множині Z цілих чисі., 4 . Тоді якщо Для деякого ЧИСЛу а Z пропозиція Р(о) і Для довільного цілого числа К > а з Р(К) слід Р(К -4- 1), то пропозиція Р(г) справіДлієо Для всес цілі,т чиселз > а (тобто на множині Z є істинною наступна формула обчислення предикатів:
Р(а) цибуля > + 1)) Вус > аР(с)
для будь-якого фіксованого цілого числа а
Доведення. Нехай пропозиції Р (с) вірно усе, що йдеться за умови теореми, тобто.
1) Р(а) - істинно;
2) КК Щ до + також істинно.
Від неприємного. Припустимо, що знайдеться таке число
Ь> а, що РФ) - хибно. Очевидно, що а, оскільки Р (а) істинно. Утворимо безліч М = (z?> а, P (z) - хибно).
Тоді безліч М0, оскільки Ь? М і М-обмежено знизу числом а. Отже, за теоремою на н а і м е н ь м е ц е л о м ч і с л е (теорема 4, 2) у множині М існує найменше ціле число с. Звідси з > а, що, своєю чергою, тягне з - 1 > а.
Доведемо, що Р(с-1) – істинно. Якщо с-1 = а, то Р (с-1) істинно в силу умови.
Нехай с-1 > а. Тоді припущення, що Р(с-1) - хибно, тягне за собою належність з 1? М, чого не може бути, оскільки число с- найменше в багатьох М.
Таким чином, з - 1> а і Р(с - 1) - істинно.
Звідси з умови цієї теореми пропозицію Р((с- 1) + 1) - істинно, тобто. Р(с) - істинно. Це суперечить вибору числа с, оскільки? Теорема доведена.
Зауважимо, ця теорема узагальнює слідство 1 з аксіом Пеано.
Теорема 2 (друга форма методу математичної індукції цілих чисел). Нехай Р(с) - деякий одинмісний преДшсатп, визна-дення) на множині Z цілих чисел. Тоді якщо пропозиція Р (с) справіДливо Для деякого цілого числа К і Для довільного Цілого числа s К зсправдіДовжини пропозиції Р(с) Для всіх цілих чисел, що задовольняють нерівності К< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >До.
p align="justify"> Доказ цієї теореми багато в чому повторює доказ аналогічної теореми для натуральних чисел (теорема 1, 55, гл.Ш).
Теорема З (третя форма методу математичної індукції). Нехай Р(с) - одномісний преДікат, визначений на множині Z ціліс ЧІСі. Тоді якщо Р(с) істинно Для всіх чисел деякої нескінченної помножини М безлічі натуральних чисел і Для довільного цілого числа а з істинності Р(а) слід істинність Р(а - 1) , то пропозиція Р(с) справіДлісно Для всі цілих чисел.
Доказ аналогічний доказу відповідної теореми для натуральних чисел.
Пропонуємо його як цікаву вправу.
Зауважимо, що у практиці застосування третя форма математичної індукції зустрічається рідше, ніж інші. Це пояснюється тим, що для її застосування необхідно знати нескінченну підмножину М множини натуральних чисел, про яку йдеться в теоремі. Знаходження такої множини може виявитися нелегким завданням.
Але перевага третьої форми перед іншими полягає в тому, що з її допомогою пропозиція Р(с) доводиться для всіх цілих чисел.
Нижче наведемо цікавий приклад застосування третьої форми“ . Але спочатку дамо одне дуже важливе поняття.
Визначення. Абсолютною величиною цілого числа а називається число, визначене за правилом
0, якщо а О а, якщо а > О
А якщо а< 0.
Отже, якщо а 0 , то ? N.
Пропонуємо читачеві як вправу довести такі властивості абсолютної величини:
Теорема (про поділ із залишком). Для будь-яких цілих чисел а і Ь, де Ь 0, існує і до того ж лише одна пара чисел q U т таких, що а г: bq+T Л Д.
Доведення.
1. Існування пари (q, т).
Нехай а, Ь? Z і 0. Покажемо, що існує пара чисел q і, що задовольняють умовам
Доказ проведемо індукцією у третій формі за кількістю а при фіксованому числі Ь.
М = (mlm = n lbl, n? N).
Очевидно, що М лт відображення f: N М, визначене за правилом f(n) = nlbl для будь-якого п? N є біекцією. Це означає, що М N, тобто. М-нескінченно.
Доведемо, що з довільного числа а? М (і Ь-фіксованого) твердження теореми про існування пари чисел q і т вірне.
Справді, нехай а (- М. Тоді а пф! для деякого п?
Якщо Ь > 0, то а = пь + О. Вважаючи тепер q = п і т О, отримуємо необхідну пару чисел q і т. Якщо ж Ь< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Зробимо тепер індукційне припущення. Припустимо, що з довільного цілого числа з (і довільного фіксованого Ь 0) твердження теореми вірно, тобто. існує пара чисел (q, т) така, що
Доведемо, що воно правильне і для числа (з 1). З рівності з = bq -4 - випливає bq + (т - 1). (1)
Можливі випадки.
1) т > 0. Тоді 7" - 1 > 0. У цьому випадку, поклавши - т - 1, отримаємо з - 1 - bq + Tl, де пара (q, 7"1,) очевидно задовольняє умову
0. Тоді з - 1 bq1 + 711 де q1
Без праці доведемо, що 0< < Д.
Таким чином, твердження вірне і для пари чисел
Першу частину теореми доведено.
П. Єдиність пари q і т.д.
Припустимо, що для чисел а і Ь 0 існують дві пари чисел (q, т) і (q1, які задовольняють умовам (*)
Доведемо, що вони збігаються. Отже, нехай
і а bq1 Л О< Д.
Звідси випливає, що b(q1 -q) т-7 1 1. З цієї рівності випливає, що
Якщо тепер припустити, що q ql , то q - q1 0, звідки lq - q1l 1. Помножуючи ці нерівності почленно число lbl, отримаємо ф! - q11 Д. (3)
Водночас із нерівностей 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
У п р а ж н і н ня:
1. Завершіть докази теорем 2 та 3 з 5 1.
2. Доведіть слідство 2 із теореми З, 1.
3. Доведіть, що підмножина НС Z, що складається з усіх чисел виду< п + 1, 1 >(п? N), замкнуто щодо складання та множення.
4. Нехай М означає те саме безліч, що у вправі 3. Доведіть, що відображення ј : М задовольняє умовам:
1) ј - бієкція;
2) ј(п + т) = ј(п) + j(m) та j(nm) = ј(п) j(m) для будь-яких чисел п, т (тобто ј здійснює ізоморфізм алгебр (N, 4, і (Н, +,).
5. Завершіть доказ теореми 1 із 2.
6. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел а, Ь, справедливі імплікації:
7. Доведіть другу та третю теореми із З.
8. Доведіть, що кільце Z цілих чисел не містить дільників нуля.
Література
1. Бурбаки Н. Теорія множин. М.: Світ, 1965.
2. Виноградів І. М. Основи теорії чисел. М.: Наука, 1972. З. ДеміДов І. Т. Підстави арифметики. М: Учпедгіз, 1963.
4. Каргаполов М. І., Мерзляков Ю. І. Основи теорії груп.
М: Наука, 1972.
5. Кострикін А. І. Введення в алгебру. М: Наука, 1994.
б. Куликов Л. Я. Алгебра та теорія чисел. М: Вища. шк., 1979.
7. Курош А.Г. Курс найвищої алгебри. М: Наука, 1971.
8. Любецький В. А. Основні поняття шкільної математики. М: Просвітництво, 1987.
9. Ляпін ЄС. та ін. Вправи з теорії груп. М: Наука, 1967.
10. Мальцев А. І. Алгебраїчні системи. М: Наука, 1970.
11. МенДельсон Еге. Введення в математичну логіку. М: Наука, 1971.
12. Нечаєв В. І. Числові системи. М: Просвітництво, 1975.
13. Новіков П.С. Елементи математичної логіки. М.. Наука, 1973.
14. Петрова В. Т. Лекції з алгебри та геометрії.: У 2 год.
ЧЛ. М: Владос, 1999.
15. Сучасні засади шкільного курсу математики Авт. кіл: Віленкін Н.Я., Дуничєв К.І., Каллтжнін ЛА Столяр А.А. М: Просвітництво, 1980.
16. Кушнір Л. А. Елементи алгебри. М: Наука, 1980.
17. Стом Р.Р. Безліч, логіка, аксіоматичні теорії. М.; Освіта, 1968.
18. Столяр А. А. Логічне введення у математику. Мінськ: ВИЩИЙ. шк., 1971.
19. Філіппов В. П. Алгебра та теорія чисел. Волгоград: ВГПІ, 1975.
20. Френкел А., Бар-Хілел І. Підстави теорії множин. М.: Світ, 1966.
21. Фукс Л. Частково упорядкові системи. М.: Світ, 1965.
Навчальне видання
Володимир Костянтинович Карташов
ВВОДНИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ
Навчальний посібник
Редакційна підготовка О. І. Молоканова Оригінал-макет підготував О. П. Бощенко
„ПР 020048 від 20.12.96 р.
Підписано до друку 28.08.99 р. Формат 60х84/16. Друк офс. бум. тип. М 2. Уел. піч. л. 8,2. Уч.-вид. л. 8.3. Тираж 500 екз. Замовлення 2
Видавництво «Зміна»
